Théorème de Birkhoff-Grothendieck

Théorème de Birkhoff-Grothendieck En mathématiques, le théorème de Birkhoff – Grothendieck classe les faisceaux vectoriels holomorphes sur la ligne projective complexe. En particulier, chaque fibré vectoriel holomorphe sur {style d'affichage mathbb {CP} ^{1}} est une somme directe de faisceaux de lignes holomorphes. The theorem was proved by Alexander Grothendieck (1957,Théorème 2.1),[1] and is more or less equivalent to Birkhoff factorization introduced by George David Birkhoff (1909).[2] Contenu 1 Déclaration 2 Généralisation 3 Applications 4 Voir également 5 Références 6 Further reading Statement More precisely, l'énoncé du théorème est le suivant.

Chaque paquet vectoriel holomorphe {style d'affichage {mathématique {E}}} sur {style d'affichage mathbb {CP} ^{1}} est holomorphiquement isomorphe à une somme directe de faisceaux de lignes: {style d'affichage {mathématique {E}}cong {mathématique {O}}(un_{1})oplus cdots oplus {mathématique {O}}(un_{n}).} La notation implique que chaque somme est une torsion de Serre un certain nombre de fois du paquet trivial. La représentation est unique à des facteurs de permutation près.

Generalization The same result holds in algebraic geometry for algebraic vector bundle over {style d'affichage mathbb {P} _{k}^{1}} pour n'importe quel domaine {style d'affichage k} .[3] Il tient aussi pour {style d'affichage mathbb {P} ^{1}} avec un ou deux points orbifold, et pour les chaînes de droites projectives se rencontrant le long des nœuds. [4] Applications One application of this theorem is it gives a classification of all coherent sheaves on {style d'affichage mathbb {CP} ^{1}} . Nous avons deux cas, faisceaux vectoriels et faisceaux cohérents supportés le long d'une sous-variété, alors {style d'affichage {mathématique {O}}(k),{mathématique {O}}_{np}} où n est le degré du point de graisse à {style d'affichage x} . Puisque les seules sous-variétés sont des points, nous avons une classification complète des faisceaux cohérents.

Voir aussi Géométrie algébrique des espaces projectifs Séquence d'Euler Principe de fractionnement Théorie K Ligne de saut Références ^ Grothendieck, Alexandre (1957). "Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann". Journal américain de mathématiques. 79 (1): 121–138. est ce que je:10.2307/2372388. JSTOR 2372388. S2CID 120532002. ^ Birkhoff, Georges David (1909). "Points singuliers des équations différentielles linéaires ordinaires". Transactions de l'American Mathematical Society. 10 (4): 436–470. est ce que je:10.2307/1988594. ISSN 0002-9947. JFM 40.0352.02. JSTOR 1988594. ^ Hazewinkel, Michael; Martin, Clyde F. (1982). "Une courte preuve élémentaire du théorème de Grothendieck sur les faisceaux de vecteurs algébriques sur la ligne projective". Journal d'algèbre pure et appliquée. 25 (2): 207–211. est ce que je:10.1016/0022-4049(82)90037-8. ^ Martres, Johan; Thaddée, Michael (2016). "Variations sur un thème de Grothendieck". Composition mathématique. 152: 62–98. arXiv:1210.8161. Code bib:2012arXiv1210.8161M. est ce que je:10.1112/S0010437X15007484. S2CID 119716554. Lectures complémentaires Okonek, Christian; Schneider, Michael; Broche, Heinz (1980). Faisceaux vectoriels sur des espaces projectifs complexes. Classiques Birkhäuser modernes. Birkhauser Bâle. est ce que je:10.1007/978-3-0348-0151-5. ISBN 978-3-0348-0150-8. hide vte Topics in algebraic curves Rational curves Five points determine a conicProjective lineRational normal curveRiemann sphereTwisted cubic Elliptic curves Analytic theory Elliptic functionElliptic integralFundamental pair of periodsModular form Arithmetic theory Counting points on elliptic curvesDivision polynomialsHasse's theorem on elliptic curvesMazur's torsion theoremModular elliptic curveModularity theoremMordell–Weil theoremNagell–Lutz theoremSupersingular elliptic curveSchoof's algorithmSchoof–Elkies–Atkin algorithm Applications Elliptic curve cryptographyElliptic curve primality Higher genus De Franchis theoremFaltings's theoremHurwitz's automorphisms theoremHurwitz surfaceHyperelliptic curve Plane curves AF+BG theoremBézout's theoremBitangentCayley–Bacharach theoremConic sectionCramer's paradoxCubic plane curveFermat curveGenus–degree formulaHilbert's sixteenth problemNagata's conjecture on curvesPlücker formulaQuartic plane curveReal plane curve Riemann surfaces Belyi's theoremBring's curveBolza surfaceCompact Riemann surfaceDessin d'enfantDifferential of the first kindKlein quarticRiemann's existence theoremRiemann–Roch theoremTeichmüller spaceTorelli theorem Constructions Dual curvePolar curveSmooth completion Structure of curves Divisors on curves Abel–Jacobi mapBrill–Noether theoryClifford's theorem on special divisorsGonality of an algebraic curveJacobian varietyRiemann–Roch theoremWeierstrass pointWeil reciprocity law Moduli ELSV formulaGromov–Witten invariantHodge bundleModuli of algebraic curvesStable curve Morphisms Hasse–Witt matrixRiemann–Hurwitz formulaPrym varietyWeber's theorem Singularities AcnodeCrunodeCuspDelta invariantTacnode Vector bundles Birkhoff–Grothendieck theoremStable vector bundleVector bundles on algebraic curves This topology-related article is a stub. Vous pouvez aider Wikipédia en l'agrandissant.

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