Satz von Birkhoff-Grothendieck

Satz von Birkhoff-Grothendieck In der Mathematik, Das Birkhoff-Grothendieck-Theorem klassifiziert holomorphe Vektorbündel über der komplexen Projektivlinie. Insbesondere bündeln sich alle holomorphen Vektoren über {Anzeigestil mathbb {CP} ^{1}} ist eine direkte Summe von holomorphen Linienbündeln. The theorem was proved by Alexander Grothendieck (1957,Satz 2.1),[1] and is more or less equivalent to Birkhoff factorization introduced by George David Birkhoff (1909).[2] Inhalt 1 Aussage 2 Verallgemeinerung 3 Anwendungen 4 Siehe auch 5 Verweise 6 Further reading Statement More precisely, die Aussage des Theorems lautet wie folgt.

Jedes holomorphe Vektorbündel {Anzeigestil {mathematisch {E}}} an {Anzeigestil mathbb {CP} ^{1}} ist holomorph isomorph zu einer direkten Summe von Linienbündeln: {Anzeigestil {mathematisch {E}}cong {mathematisch {Ö}}(a_{1})oplus cdots oplus {mathematisch {Ö}}(a_{n}).} Die Notation impliziert, dass jeder Summand eine mehrfache Serre-Verdrehung des trivialen Bündels ist. Die Darstellung ist bis auf permutierende Faktoren eindeutig.

Generalization The same result holds in algebraic geometry for algebraic vector bundle over {Anzeigestil mathbb {P} _{k}^{1}} für irgendeinen Bereich {Anzeigestil k} .[3] Es gilt auch für {Anzeigestil mathbb {P} ^{1}} mit einem oder zwei Orbifold-Punkten, und für Ketten von Projektionslinien, die sich entlang von Knoten treffen. [4] Applications One application of this theorem is it gives a classification of all coherent sheaves on {Anzeigestil mathbb {CP} ^{1}} . Wir haben zwei Fälle, Vektorbündel und kohärente Garben, die entlang einer Unterart getragen werden, Also {Anzeigestil {mathematisch {Ö}}(k),{mathematisch {Ö}}_{np}} wobei n der Grad des Fettpunktes ist {Anzeigestil x} . Da die einzigen Unterarten Punkte sind, wir haben eine vollständige Klassifikation kohärenter Garben.

Siehe auch Algebraische Geometrie projektiver Räume Euler-Folge Splitting-Prinzip K-Theorie Jumping Line Referenzen ^ Grothendieck, Alexander (1957). "Zur Klassifikation holomorpher Bündel auf der Riemannschen Kugel". Amerikanisches Journal für Mathematik. 79 (1): 121–138. doi:10.2307/2372388. JSTOR 2372388. S2CID 120532002. ^ Birkhoff, Georg David (1909). "Singuläre Punkte gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen". Transaktionen der American Mathematical Society. 10 (4): 436–470. doi:10.2307/1988594. ISSN 0002-9947. JFM 40.0352.02. JSTOR 1988594. ^ Hazewinkel, Michael; Martin, Clyde F. (1982). "Ein kurzer elementarer Beweis des Satzes von Grothendieck über algebraische Vektorbündel über der projektiven Geraden". Zeitschrift für reine und angewandte Algebra. 25 (2): 207–211. doi:10.1016/0022-4049(82)90037-8. ^ Marder, Johann; Thaddäus, Michael (2016). "Variationen über ein Thema von Grothendieck". Mathematische Zusammensetzung. 152: 62–98. arXiv:1210.8161. Bibcode:2012arXiv1210.8161M. doi:10.1112/S0010437X15007484. S2CID 119716554. Weiterführende Literatur Okonek, Christian; Schneider, Michael; Spindler, Heinz (1980). Vektorbündel auf komplexen projektiven Räumen. Moderne Birkhäuser-Klassiker. Birkhäuser Basel. doi:10.1007/978-3-0348-0151-5. ISBN 978-3-0348-0150-8. hide vte Topics in algebraic curves Rational curves Five points determine a conicProjective lineRational normal curveRiemann sphereTwisted cubic Elliptic curves Analytic theory Elliptic functionElliptic integralFundamental pair of periodsModular form Arithmetic theory Counting points on elliptic curvesDivision polynomialsHasse's theorem on elliptic curvesMazur's torsion theoremModular elliptic curveModularity theoremMordell–Weil theoremNagell–Lutz theoremSupersingular elliptic curveSchoof's algorithmSchoof–Elkies–Atkin algorithm Applications Elliptic curve cryptographyElliptic curve primality Higher genus De Franchis theoremFaltings's theoremHurwitz's automorphisms theoremHurwitz surfaceHyperelliptic curve Plane curves AF+BG theoremBézout's theoremBitangentCayley–Bacharach theoremConic sectionCramer's paradoxCubic plane curveFermat curveGenus–degree formulaHilbert's sixteenth problemNagata's conjecture on curvesPlücker formulaQuartic plane curveReal plane curve Riemann surfaces Belyi's theoremBring's curveBolza surfaceCompact Riemann surfaceDessin d'enfantDifferential of the first kindKlein quarticRiemann's existence theoremRiemann–Roch theoremTeichmüller spaceTorelli theorem Constructions Dual curvePolar curveSmooth completion Structure of curves Divisors on curves Abel–Jacobi mapBrill–Noether theoryClifford's theorem on special divisorsGonality of an algebraic curveJacobian varietyRiemann–Roch theoremWeierstrass pointWeil reciprocity law Moduli ELSV formulaGromov–Witten invariantHodge bundleModuli of algebraic curvesStable curve Morphisms Hasse–Witt matrixRiemann–Hurwitz formulaPrym varietyWeber's theorem Singularities AcnodeCrunodeCuspDelta invariantTacnode Vector bundles Birkhoff–Grothendieck theoremStable vector bundleVector bundles on algebraic curves This topology-related article is a stub. Sie können Wikipedia helfen, indem Sie es erweitern.

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