A teoria de Betti

A teoria de Betti A teoria de Betti, também conhecido como teorema do trabalho recíproco de Maxwell-Betti, descoberto por Enrico Betti em 1872, afirma que para uma estrutura linear elástica sujeita a dois conjuntos de forças {Pi} i=1,...,n e {Qj}, j=1,2,...,n, o trabalho realizado pelo conjunto P pelos deslocamentos produzidos pelo conjunto Q é igual ao trabalho realizado pelo conjunto Q pelos deslocamentos produzidos pelo conjunto P. Este teorema tem aplicações em engenharia estrutural onde é usado para definir linhas de influência e derivar o método do elemento de contorno.

O teorema de Betti é usado no projeto de mecanismos compatíveis pela abordagem de otimização de topologia.

Conteúdo 1 Prova 2 Exemplo 3 Veja também 4 References Proof Consider a solid body subjected to a pair of external force systems, referido como {estilo de exibição F_{eu}^{P}} e {estilo de exibição F_{eu}^{Q}} . Considere que cada sistema de forças causa um campo de deslocamento, com os deslocamentos medidos no ponto de aplicação da força externa referido como {estilo de exibição d_{eu}^{P}} e {estilo de exibição d_{eu}^{Q}} .

Quando o {estilo de exibição F_{eu}^{P}} sistema de força é aplicado à estrutura, o equilíbrio entre o trabalho realizado pelo sistema de forças externas e a energia de deformação é: {estilo de exibição {fratura {1}{2}}soma _{i=1}^{n}F_{eu}^{P}d_{eu}^{P}={fratura {1}{2}}int_{Ómega }sigma_{eu j}^{P}épsilon _{eu j}^{P},dÔmega } O balanço de trabalho-energia associado ao {estilo de exibição F_{eu}^{Q}} sistema de força é o seguinte: {estilo de exibição {fratura {1}{2}}soma _{i=1}^{n}F_{eu}^{Q}d_{eu}^{Q}={fratura {1}{2}}int_{Ómega }sigma_{eu j}^{Q}épsilon _{eu j}^{Q},dÔmega } Agora, considere isso com o {estilo de exibição F_{eu}^{P}} sistema de força aplicado, a {estilo de exibição F_{eu}^{Q}} sistema de força é aplicado posteriormente. Enquanto o {estilo de exibição F_{eu}^{P}} já está aplicado e, portanto, não causará nenhum deslocamento extra, o balanço trabalho-energia assume a seguinte expressão: {estilo de exibição {fratura {1}{2}}soma _{i=1}^{n}F_{eu}^{P}d_{eu}^{P}+{fratura {1}{2}}soma _{i=1}^{n}F_{eu}^{Q}d_{eu}^{Q}+soma _{i=1}^{n}F_{eu}^{P}d_{eu}^{Q}={fratura {1}{2}}int_{Ómega }sigma_{eu j}^{P}épsilon _{eu j}^{P},dÔmega +{fratura {1}{2}}int_{Ómega }sigma_{eu j}^{Q}épsilon _{eu j}^{Q},dÔmega +int _{Ómega }sigma_{eu j}^{P}épsilon _{eu j}^{Q},dÔmega } Por outro lado, se considerarmos o {estilo de exibição F_{eu}^{Q}} sistema de força já aplicado e o {estilo de exibição F_{eu}^{P}} sistema de força externa aplicado posteriormente, o equilíbrio trabalho-energia assumirá a seguinte expressão: {estilo de exibição {fratura {1}{2}}soma _{i=1}^{n}F_{eu}^{Q}d_{eu}^{Q}+{fratura {1}{2}}soma _{i=1}^{n}F_{eu}^{P}d_{eu}^{P}+soma _{i=1}^{n}F_{eu}^{Q}d_{eu}^{P}={fratura {1}{2}}int_{Ómega }sigma_{eu j}^{Q}épsilon _{eu j}^{Q},dÔmega +{fratura {1}{2}}int_{Ómega }sigma_{eu j}^{P}épsilon _{eu j}^{P},dÔmega +int _{Ómega }sigma_{eu j}^{Q}épsilon _{eu j}^{P},dÔmega } Se o balanço de trabalho-energia para os casos em que os sistemas de forças externas são aplicados isoladamente são respectivamente subtraídos dos casos em que os sistemas de forças são aplicados simultaneamente, chegamos às seguintes equações: {soma de estilo de exibição _{i=1}^{n}F_{eu}^{P}d_{eu}^{Q}=int_{Ómega }sigma_{eu j}^{P}épsilon _{eu j}^{Q},dÔmega } {soma de estilo de exibição _{i=1}^{n}F_{eu}^{Q}d_{eu}^{P}=int_{Ómega }sigma_{eu j}^{Q}épsilon _{eu j}^{P},dÔmega } Se o corpo sólido onde os sistemas de forças são aplicados é formado por um material elástico linear e se os sistemas de forças são tais que apenas deformações infinitesimais são observadas no corpo, então a equação constitutiva do corpo, que pode seguir a lei de Hooke, pode ser expresso da seguinte forma: {estilo de exibição sigma _{eu j}=D_{ijkl}épsilon _{kl}} Substituindo este resultado no conjunto de equações anterior nos leva ao seguinte resultado: {soma de estilo de exibição _{i=1}^{n}F_{eu}^{P}d_{eu}^{Q}=int_{Ómega }D_{ijkl}épsilon _{eu j}^{P}épsilon _{kl}^{Q},dÔmega } {soma de estilo de exibição _{i=1}^{n}F_{eu}^{Q}d_{eu}^{P}=int_{Ómega }D_{ijkl}épsilon _{eu j}^{Q}épsilon _{kl}^{P},dÔmega } Se subtrairmos ambas as equações, obteremos o seguinte resultado: {soma de estilo de exibição _{i=1}^{n}F_{eu}^{P}d_{eu}^{Q}=soma _{i=1}^{n}F_{eu}^{Q}d_{eu}^{P}} Example For a simple example let m=1 and n=1. Considere uma viga horizontal na qual dois pontos foram definidos: ponto 1 e apontar 2. Primeiro aplicamos uma força vertical P no ponto 1 e medir o deslocamento vertical do ponto 2, denotado {estilo de exibição Delta _{P2}} . Em seguida, removemos a força P e aplicamos uma força vertical Q no ponto 2, que produz o deslocamento vertical no ponto 1 do {estilo de exibição Delta _{Q1}} . O teorema da reciprocidade de Betti afirma que: {estilo de exibição P,Delta_{Q1}=Q,Delta_{P2}.} Exemplo do Teorema de Betti Veja também o princípio de D'Alembert Referências A. Caro; SOU. Neville (1972). Análise estrutural: uma abordagem unificada clássica e matricial. Londres, Nova york: E & FN SPON. p. 215. ISBN 0-419-21200-0. hide vte Structural engineering Dynamic analysis Duhamel's integralModal analysis Static analysis Betti's theoremCastigliano's methodConjugate beam methodFEMFlexibility methodMacaulay's methodMoment-area theoremStiffness methodShear and moment diagramTheorem of three moments Structural elements 1-dimensional Beam I-beamLintel Post and lintelSpanCompression memberStrutTie 2-dimensional ArchThin-shell structure Structural support Bracket Theories Euler–Bernoulli beam theoryMohr–Coulomb theoryPlate theoryTimoshenko–Ehrenfest beam theory Categories: Análise estruturalMecânica do contínuoTeoremas da física