La teoria di Betti

La teoria di Betti La teoria di Betti, noto anche come teorema del lavoro reciproco di Maxwell-Betti, scoperto da Enrico Betti in 1872, afferma che per una struttura elastica lineare soggetta a due insiemi di forze {Pi} i=1,...,ne {Qj}, j=1,2,...,n, il lavoro svolto dall'insieme P attraverso gli spostamenti prodotti dall'insieme Q è uguale al lavoro svolto dall'insieme Q attraverso gli spostamenti prodotti dall'insieme P. Questo teorema ha applicazioni nell'ingegneria strutturale dove viene utilizzato per definire le linee di influenza e derivare il metodo degli elementi al contorno.

Il teorema di Betti viene utilizzato nella progettazione di meccanismi conformi mediante un approccio di ottimizzazione della topologia.

Contenuti 1 Prova 2 Esempio 3 Guarda anche 4 References Proof Consider a solid body subjected to a pair of external force systems, indicato come {stile di visualizzazione F_{io}^{P}} e {stile di visualizzazione F_{io}^{Q}} . Si consideri che ogni sistema di forze provoca un campo di spostamento, con gli spostamenti misurati nel punto di applicazione della forza esterna denominato {stile di visualizzazione d_{io}^{P}} e {stile di visualizzazione d_{io}^{Q}} .

Quando il {stile di visualizzazione F_{io}^{P}} sistema di forze è applicato alla struttura, l'equilibrio tra il lavoro svolto dal sistema di forze esterne e l'energia di deformazione è: {stile di visualizzazione {frac {1}{2}}somma _{io=1}^{n}F_{io}^{P}d_{io}^{P}={frac {1}{2}}int _{Omega }sigma _{ij}^{P}epsilon _{ij}^{P},domega } L'equilibrio lavoro-energia associato al {stile di visualizzazione F_{io}^{Q}} sistema di forze è il seguente: {stile di visualizzazione {frac {1}{2}}somma _{io=1}^{n}F_{io}^{Q}d_{io}^{Q}={frac {1}{2}}int _{Omega }sigma _{ij}^{Q}epsilon _{ij}^{Q},domega } Adesso, considera che con il {stile di visualizzazione F_{io}^{P}} sistema di forze applicato, il {stile di visualizzazione F_{io}^{Q}} sistema di forza viene applicato successivamente. Come la {stile di visualizzazione F_{io}^{P}} è già applicato e quindi non provocherà alcuno spostamento aggiuntivo, il bilancio lavoro-energia assume la seguente espressione: {stile di visualizzazione {frac {1}{2}}somma _{io=1}^{n}F_{io}^{P}d_{io}^{P}+{frac {1}{2}}somma _{io=1}^{n}F_{io}^{Q}d_{io}^{Q}+somma _{io=1}^{n}F_{io}^{P}d_{io}^{Q}={frac {1}{2}}int _{Omega }sigma _{ij}^{P}epsilon _{ij}^{P},domega +{frac {1}{2}}int _{Omega }sigma _{ij}^{Q}epsilon _{ij}^{Q},dOmega +int _{Omega }sigma _{ij}^{P}epsilon _{ij}^{Q},domega } al contrario, se consideriamo il {stile di visualizzazione F_{io}^{Q}} sistema di forza già applicato e il {stile di visualizzazione F_{io}^{P}} sistema di forze esterne applicato successivamente, il bilancio lavoro-energia assumerà la seguente espressione: {stile di visualizzazione {frac {1}{2}}somma _{io=1}^{n}F_{io}^{Q}d_{io}^{Q}+{frac {1}{2}}somma _{io=1}^{n}F_{io}^{P}d_{io}^{P}+somma _{io=1}^{n}F_{io}^{Q}d_{io}^{P}={frac {1}{2}}int _{Omega }sigma _{ij}^{Q}epsilon _{ij}^{Q},domega +{frac {1}{2}}int _{Omega }sigma _{ij}^{P}epsilon _{ij}^{P},dOmega +int _{Omega }sigma _{ij}^{Q}epsilon _{ij}^{P},domega } Se il bilancio lavoro-energia per i casi in cui i sistemi di forze esterne sono applicati in isolamento sono rispettivamente sottratti dai casi in cui i sistemi di forze sono applicati contemporaneamente, arriviamo alle seguenti equazioni: {somma dello stile di visualizzazione _{io=1}^{n}F_{io}^{P}d_{io}^{Q}=int _{Omega }sigma _{ij}^{P}epsilon _{ij}^{Q},domega } {somma dello stile di visualizzazione _{io=1}^{n}F_{io}^{Q}d_{io}^{P}=int _{Omega }sigma _{ij}^{Q}epsilon _{ij}^{P},domega } Se il corpo solido a cui sono applicati i sistemi di forze è formato da un materiale elastico lineare e se i sistemi di forze sono tali che nel corpo si osservano solo deformazioni infinitesime, quindi l'equazione costitutiva del corpo, che può seguire la legge di Hooke, può essere espresso nel modo seguente: {displaystyle sigma _{ij}=D_{ijkl}epsilon _{kl}} Sostituendo questo risultato nel precedente insieme di equazioni si ottiene il seguente risultato: {somma dello stile di visualizzazione _{io=1}^{n}F_{io}^{P}d_{io}^{Q}=int _{Omega }D_{ijkl}epsilon _{ij}^{P}epsilon _{kl}^{Q},domega } {somma dello stile di visualizzazione _{io=1}^{n}F_{io}^{Q}d_{io}^{P}=int _{Omega }D_{ijkl}epsilon _{ij}^{Q}epsilon _{kl}^{P},domega } Se sottraiamo entrambe le equazioni, otteniamo il seguente risultato: {somma dello stile di visualizzazione _{io=1}^{n}F_{io}^{P}d_{io}^{Q}=somma _{io=1}^{n}F_{io}^{Q}d_{io}^{P}} Example For a simple example let m=1 and n=1. Si consideri una trave orizzontale su cui sono stati definiti due punti: punto 1 e punto 2. Per prima cosa applichiamo una forza verticale P in un punto 1 e misurare lo spostamento verticale del punto 2, indicato {stile di visualizzazione Delta _{P2}} . Quindi rimuoviamo la forza P e applichiamo una forza verticale Q in un punto 2, che produce lo spostamento verticale nel punto 1 di {stile di visualizzazione Delta _{Q1}} . Il teorema di reciprocità di Betti afferma che: {stile di visualizzazione P,Delta _{Q1}=Q,Delta _{P2}.} Esempio del teorema di Betti Vedi anche il principio di D'Alembert Riferimenti A. Caro; SONO. Neville (1972). Analisi strutturale: un approccio unificato classico e matriciale. Londra, New York: E & FN SPON. p. 215. ISBN 0-419-21200-0. hide vte Structural engineering Dynamic analysis Duhamel's integralModal analysis Static analysis Betti's theoremCastigliano's methodConjugate beam methodFEMFlexibility methodMacaulay's methodMoment-area theoremStiffness methodShear and moment diagramTheorem of three moments Structural elements 1-dimensional Beam I-beamLintel Post and lintelSpanCompression memberStrutTie 2-dimensional ArchThin-shell structure Structural support Bracket Theories Euler–Bernoulli beam theoryMohr–Coulomb theoryPlate theoryTimoshenko–Ehrenfest beam theory Categories: Analisi strutturaleMeccanica del continuoTeoremi di fisica