La théorie de Betti

La théorie de Betti La théorie de Betti, également connu sous le nom de théorème de travail réciproque de Maxwell – Betti, découverte par Enrico Betti dans 1872, indique que pour une structure élastique linéaire soumise à deux ensembles de forces {Pi} i=1,...,n et {Qj}, j=1,2,...,n, le travail effectué par l'ensemble P à travers les déplacements produits par l'ensemble Q est égal au travail effectué par l'ensemble Q à travers les déplacements produits par l'ensemble P. Ce théorème a des applications en ingénierie structurelle où il est utilisé pour définir les lignes d'influence et dériver la méthode des éléments de frontière.

Le théorème de Betti est utilisé dans la conception de mécanismes conformes par une approche d'optimisation de la topologie.

Contenu 1 Preuve 2 Exemple 3 Voir également 4 References Proof Consider a solid body subjected to a pair of external force systems, dénommé {style d'affichage F_{je}^{P}} et {style d'affichage F_{je}^{Q}} . Considérez que chaque système de force provoque un champ de déplacement, avec les déplacements mesurés au point d'application de la force extérieure appelés {displaystyle d_{je}^{P}} et {displaystyle d_{je}^{Q}} .

Quand le {style d'affichage F_{je}^{P}} le système de force est appliqué à la structure, l'équilibre entre le travail effectué par le système de force externe et l'énergie de déformation est: {style d'affichage {frac {1}{2}}somme _{je=1}^{n}F_{je}^{P}ré_{je}^{P}={frac {1}{2}}entier _{Oméga }sigma _{ij}^{P}epsilon _{ij}^{P},dOméga } Le bilan énergétique travail associé à la {style d'affichage F_{je}^{Q}} système de force est le suivant: {style d'affichage {frac {1}{2}}somme _{je=1}^{n}F_{je}^{Q}ré_{je}^{Q}={frac {1}{2}}entier _{Oméga }sigma _{ij}^{Q}epsilon _{ij}^{Q},dOméga } À présent, considérez qu'avec le {style d'affichage F_{je}^{P}} système de force appliqué, la {style d'affichage F_{je}^{Q}} le système de force est appliqué par la suite. Comme le {style d'affichage F_{je}^{P}} est déjà appliqué et ne causera donc aucun déplacement supplémentaire, le bilan énergétique travail prend l'expression suivante: {style d'affichage {frac {1}{2}}somme _{je=1}^{n}F_{je}^{P}ré_{je}^{P}+{frac {1}{2}}somme _{je=1}^{n}F_{je}^{Q}ré_{je}^{Q}+somme _{je=1}^{n}F_{je}^{P}ré_{je}^{Q}={frac {1}{2}}entier _{Oméga }sigma _{ij}^{P}epsilon _{ij}^{P},dOméga +{frac {1}{2}}entier _{Oméga }sigma _{ij}^{Q}epsilon _{ij}^{Q},dOmega +int _{Oméga }sigma _{ij}^{P}epsilon _{ij}^{Q},dOméga } inversement, si l'on considère le {style d'affichage F_{je}^{Q}} système de force déjà appliqué et le {style d'affichage F_{je}^{P}} système de force externe appliqué ultérieurement, l'équilibre travail-énergie prendra l'expression suivante: {style d'affichage {frac {1}{2}}somme _{je=1}^{n}F_{je}^{Q}ré_{je}^{Q}+{frac {1}{2}}somme _{je=1}^{n}F_{je}^{P}ré_{je}^{P}+somme _{je=1}^{n}F_{je}^{Q}ré_{je}^{P}={frac {1}{2}}entier _{Oméga }sigma _{ij}^{Q}epsilon _{ij}^{Q},dOméga +{frac {1}{2}}entier _{Oméga }sigma _{ij}^{P}epsilon _{ij}^{P},dOmega +int _{Oméga }sigma _{ij}^{Q}epsilon _{ij}^{P},dOméga } Si les bilans travail-énergie pour les cas où les systèmes de force externes sont appliqués isolément sont respectivement soustraits des cas où les systèmes de force sont appliqués simultanément, on arrive aux équations suivantes: {somme de style d'affichage _{je=1}^{n}F_{je}^{P}ré_{je}^{Q}=int _{Oméga }sigma _{ij}^{P}epsilon _{ij}^{Q},dOméga } {somme de style d'affichage _{je=1}^{n}F_{je}^{Q}ré_{je}^{P}=int _{Oméga }sigma _{ij}^{Q}epsilon _{ij}^{P},dOméga } Si le corps solide où les systèmes de force sont appliqués est formé par un matériau élastique linéaire et si les systèmes de force sont tels que seules des déformations infinitésimales sont observées dans le corps, alors l'équation constitutive du corps, qui peut suivre la loi de Hooke, peut s'exprimer de la manière suivante: {style d'affichage sigma _{ij}=D_{ijkl}epsilon _{cl}} Le remplacement de ce résultat dans le jeu d'équations précédent nous amène au résultat suivant: {somme de style d'affichage _{je=1}^{n}F_{je}^{P}ré_{je}^{Q}=int _{Oméga }RÉ_{ijkl}epsilon _{ij}^{P}epsilon _{cl}^{Q},dOméga } {somme de style d'affichage _{je=1}^{n}F_{je}^{Q}ré_{je}^{P}=int _{Oméga }RÉ_{ijkl}epsilon _{ij}^{Q}epsilon _{cl}^{P},dOméga } Si nous soustrayons les deux équations, nous obtenons le résultat suivant: {somme de style d'affichage _{je=1}^{n}F_{je}^{P}ré_{je}^{Q}=somme _{je=1}^{n}F_{je}^{Q}ré_{je}^{P}} Example For a simple example let m=1 and n=1. Considérons une poutre horizontale sur laquelle deux points ont été définis: indiquer 1 et pointe 2. Nous appliquons d'abord une force verticale P au point 1 et mesurer le déplacement vertical du point 2, dénoté {style d'affichage Delta _{P2}} . Ensuite, nous supprimons la force P et appliquons une force verticale Q au point 2, qui produit le déplacement vertical au point 1 de {style d'affichage Delta _{Q1}} . Le théorème de réciprocité de Betti stipule que: {style d'affichage P,Delta _{Q1}= Q,Delta _{P2}.} Exemple du théorème de Betti Voir aussi le principe de D'Alembert Références A. Chere; UN M. Néville (1972). Analyse structurelle: une approche classique et matricielle unifiée. Londres, New York: E & FN SPON. p. 215. ISBN 0-419-21200-0. hide vte Structural engineering Dynamic analysis Duhamel's integralModal analysis Static analysis Betti's theoremCastigliano's methodConjugate beam methodFEMFlexibility methodMacaulay's methodMoment-area theoremStiffness methodShear and moment diagramTheorem of three moments Structural elements 1-dimensional Beam I-beamLintel Post and lintelSpanCompression memberStrutTie 2-dimensional ArchThin-shell structure Structural support Bracket Theories Euler–Bernoulli beam theoryMohr–Coulomb theoryPlate theoryTimoshenko–Ehrenfest beam theory Categories: Analyse structuraleMécanique du continuThéorèmes de physique