Bettis Theorie

Bettis Theorie Bettis Theorie, auch als reziproker Arbeitssatz von Maxwell-Betti bekannt, entdeckt von Enrico Betti in 1872, besagt, dass für eine lineare elastische Struktur, die zwei Kräftesätzen ausgesetzt ist {Pi} i=1,...,n und {Qj}, j=1,2,...,n, Die von der Menge P durch die von der Menge Q erzeugten Verschiebungen verrichtete Arbeit ist gleich der von der Menge Q durch die von der Menge P erzeugten Verschiebungen verrichteten Arbeit. Dieses Theorem findet Anwendung in der Bautechnik, wo es verwendet wird, um Einflusslinien zu definieren und die Grenzelementmethode abzuleiten.

Der Satz von Betti wird beim Entwurf von nachgiebigen Mechanismen durch den Ansatz der Topologieoptimierung verwendet.

Inhalt 1 Nachweisen 2 Beispiel 3 Siehe auch 4 References Proof Consider a solid body subjected to a pair of external force systems, bezeichnet als {Anzeigestil F_{ich}^{P}} und {Anzeigestil F_{ich}^{Q}} . Bedenken Sie, dass jedes Kraftsystem ein Verschiebungsfeld verursacht, wobei die am Angriffspunkt der äußeren Kraft gemessenen Verschiebungen als bezeichnet werden {Anzeigestil d_{ich}^{P}} und {Anzeigestil d_{ich}^{Q}} .

Wenn der {Anzeigestil F_{ich}^{P}} Kraftsystem wird auf die Struktur aufgebracht, das Gleichgewicht zwischen der vom äußeren Kraftsystem verrichteten Arbeit und der Dehnungsenergie ist: {Anzeigestil {frac {1}{2}}Summe _{i=1}^{n}F_{ich}^{P}d_{ich}^{P}={frac {1}{2}}int _{Omega }Sigma _{ij}^{P}Epsilon _{ij}^{P},dOmega } Die damit verbundene Arbeits-Energie-Bilanz {Anzeigestil F_{ich}^{Q}} Kraftsystem ist wie folgt: {Anzeigestil {frac {1}{2}}Summe _{i=1}^{n}F_{ich}^{Q}d_{ich}^{Q}={frac {1}{2}}int _{Omega }Sigma _{ij}^{Q}Epsilon _{ij}^{Q},dOmega } Jetzt, bedenke das mit dem {Anzeigestil F_{ich}^{P}} Kraftsystem angewendet, das {Anzeigestil F_{ich}^{Q}} Kraftsystem wird anschließend angewendet. Als die {Anzeigestil F_{ich}^{P}} ist bereits aufgebracht und verursacht daher keine zusätzliche Verschiebung, die Arbeits-Energie-Bilanz nimmt den folgenden Ausdruck an: {Anzeigestil {frac {1}{2}}Summe _{i=1}^{n}F_{ich}^{P}d_{ich}^{P}+{frac {1}{2}}Summe _{i=1}^{n}F_{ich}^{Q}d_{ich}^{Q}+Summe _{i=1}^{n}F_{ich}^{P}d_{ich}^{Q}={frac {1}{2}}int _{Omega }Sigma _{ij}^{P}Epsilon _{ij}^{P},dOmega +{frac {1}{2}}int _{Omega }Sigma _{ij}^{Q}Epsilon _{ij}^{Q},dOmega +int _{Omega }Sigma _{ij}^{P}Epsilon _{ij}^{Q},dOmega } Umgekehrt, wenn wir das bedenken {Anzeigestil F_{ich}^{Q}} bereits angewendetes Kraftsystem und das {Anzeigestil F_{ich}^{P}} anschließend angewendetes äußeres Kraftsystem, die Arbeits-Energie-Bilanz wird den folgenden Ausdruck annehmen: {Anzeigestil {frac {1}{2}}Summe _{i=1}^{n}F_{ich}^{Q}d_{ich}^{Q}+{frac {1}{2}}Summe _{i=1}^{n}F_{ich}^{P}d_{ich}^{P}+Summe _{i=1}^{n}F_{ich}^{Q}d_{ich}^{P}={frac {1}{2}}int _{Omega }Sigma _{ij}^{Q}Epsilon _{ij}^{Q},dOmega +{frac {1}{2}}int _{Omega }Sigma _{ij}^{P}Epsilon _{ij}^{P},dOmega +int _{Omega }Sigma _{ij}^{Q}Epsilon _{ij}^{P},dOmega } Wenn die Arbeits-Energie-Bilanz für die Fälle, in denen die äußeren Kraftsysteme isoliert aufgebracht werden, jeweils von den Fällen subtrahiert wird, in denen die Kraftsysteme gleichzeitig aufgebracht werden, kommen wir zu folgenden Gleichungen: {Anzeigestil Summe _{i=1}^{n}F_{ich}^{P}d_{ich}^{Q}=int _{Omega }Sigma _{ij}^{P}Epsilon _{ij}^{Q},dOmega } {Anzeigestil Summe _{i=1}^{n}F_{ich}^{Q}d_{ich}^{P}=int _{Omega }Sigma _{ij}^{Q}Epsilon _{ij}^{P},dOmega } Wenn der Festkörper, an dem die Kraftsysteme angreifen, aus einem linearelastischen Material besteht und wenn die Kraftsysteme so sind, dass nur infinitesimale Dehnungen im Körper beobachtet werden, dann die konstitutive Gleichung des Körpers, was dem Hookeschen Gesetz folgen kann, kann auf folgende Weise ausgedrückt werden: {Anzeigestil Sigma _{ij}=D_{ijkl}Epsilon _{Kl}} Das Ersetzen dieses Ergebnisses im vorherigen Satz von Gleichungen führt uns zu dem folgenden Ergebnis: {Anzeigestil Summe _{i=1}^{n}F_{ich}^{P}d_{ich}^{Q}=int _{Omega }D_{ijkl}Epsilon _{ij}^{P}Epsilon _{Kl}^{Q},dOmega } {Anzeigestil Summe _{i=1}^{n}F_{ich}^{Q}d_{ich}^{P}=int _{Omega }D_{ijkl}Epsilon _{ij}^{Q}Epsilon _{Kl}^{P},dOmega } Wenn wir beide Gleichungen subtrahieren, erhalten wir das folgende Ergebnis: {Anzeigestil Summe _{i=1}^{n}F_{ich}^{P}d_{ich}^{Q}= Summe _{i=1}^{n}F_{ich}^{Q}d_{ich}^{P}} Example For a simple example let m=1 and n=1. Stellen Sie sich einen horizontalen Balken vor, auf dem zwei Punkte definiert wurden: Punkt 1 und Punkt 2. Zuerst wenden wir eine vertikale Kraft P am Punkt an 1 und messen Sie die vertikale Verschiebung des Punktes 2, bezeichnet {Anzeigestil Delta _{P2}} . Als nächstes entfernen wir die Kraft P und wenden am Punkt eine vertikale Kraft Q an 2, was die vertikale Verschiebung am Punkt erzeugt 1 von {Anzeigestil Delta _{Q1}} . Das besagt der Reziprozitätssatz von Betti: {Anzeigestil P,Differenz _{Q1}=Q,Differenz _{P2}.} Beispiel für den Satz von Betti Siehe auch das D'Alembert-Prinzip Referenzen A. Teuer; BIN. Neville (1972). Strukturanalyse: ein einheitlicher klassischer und Matrix-Ansatz. London, New York: E & FN SPON. p. 215. ISBN 0-419-21200-0. hide vte Structural engineering Dynamic analysis Duhamel's integralModal analysis Static analysis Betti's theoremCastigliano's methodConjugate beam methodFEMFlexibility methodMacaulay's methodMoment-area theoremStiffness methodShear and moment diagramTheorem of three moments Structural elements 1-dimensional Beam I-beamLintel Post and lintelSpanCompression memberStrutTie 2-dimensional ArchThin-shell structure Structural support Bracket Theories Euler–Bernoulli beam theoryMohr–Coulomb theoryPlate theoryTimoshenko–Ehrenfest beam theory Categories: StrukturanalyseKontinuumsmechanikTheoreme der Physik