Teorema da Cobertura de Besicovitch

Teorema da cobertura de Besicovitch Na análise matemática, uma capa de Besicovitch, em homenagem a Abram Samoilovitch Besicovitch, é uma cobertura aberta de um subconjunto E do espaço euclidiano RN por bolas tal que cada ponto de E é o centro de alguma bola na cobertura.

O teorema de cobertura de Besicovitch afirma que existe uma constante cN dependendo apenas da dimensão N com a seguinte propriedade: Dada qualquer cobertura de Besicovitch F de um conjunto limitado E, existem cN subcoleções de bolas A1 ={Bn1}, …, AcN ={BncN} contido em F tal que cada coleção Ai consiste em bolas disjuntas, e {estilo de exibição Esubseteq bigcup _{i=1}^{c_{N}}copo grande _{Mil A_{eu}}B.} Seja G a subcoleção de F consistindo de todas as bolas das famílias disjuntas cN A1,...,AcN. A afirmação a seguir menos precisa é claramente verdadeira: todo ponto x ∈ RN pertence a no máximo cN bolas diferentes da subcoleção G, e G permanece uma cobertura para E (cada ponto y ∈ E pertence a pelo menos uma bola da subcoleção G). Esta propriedade dá na verdade uma forma equivalente para o teorema (exceto pelo valor da constante).

Existe uma constante bN dependendo apenas da dimensão N com a seguinte propriedade: Dada qualquer cobertura de Besicovitch F de um conjunto limitado E, existe uma subcoleção G de F tal que G é uma cobertura do conjunto E e todo ponto x ∈ E pertence a no máximo bN bolas diferentes da subcobertura G.

Em outras palavras, a função SG igual à soma das funções indicadoras das bolas em G é maior que 1E e limitada em RN pela constante bN, {estilo de exibição mathbf {1} _{E}leq S_{mathbf {G} }:=soma _{Bin mathbf {G} }mathbf {1} _{B}leq b_{N}.} Application to maximal functions and maximal inequalities Let μ be a Borel non-negative measure on RN, finito em subconjuntos compactos e seja f uma função μ-integrável. Defina a função máxima {estilo de exibição f^{*}} definindo para cada x (usando a convenção {displaystyle infty vezes 0=0} ) {estilo de exibição f^{*}(x)=sup_{r>0}{Grande (}dentro (B(x,r))^{-1}int_{B(x,r)}|f(y)|,dmu (y){Maior )}.} Esta função máxima é semicontínua inferior, portanto, mensurável. The following maximal inequality is satisfied for every λ > 0 : {lambda de estilo de exibição ,dentro {De repente (}{x:f^{*}(x)>lambda }{maior )}leq b_{N},int |f|,dmu .} Prova.

O conjunto Eλ dos pontos x tal que {estilo de exibição f^{*}(x)>lambda } admite claramente uma cobertura de Besicovitch Fλ por bolas B tal que {displaystyle int mathbf {1} _{B},|f| sangue = você _{B}|f(y)|,dmu (y)>lambda ,dentro (B).} Para cada subconjunto de Borel limitado E´ de Eλ, one can find a subcollection G extracted from Fλ that covers E´ and such that SG ≤ bN, por isso {estilo de exibição {começar{alinhado}lambda ,dentro (E')&leq lambda ,soma _{Bin mathbf {G} }dentro (B)\&leq sum _{Bin mathbf {G} }int mathbf {1} _{B},|f|,dmu =int S_{mathbf {G} },|f|,dmu leq b_{N},int |f|,dmu ,fim{alinhado}}} o que implica a desigualdade acima.

Ao tratar da medida Lebesgue no RN, é mais comum usar o mais fácil (e mais velho) Vitali cobrindo o lema para derivar a desigualdade máxima anterior (com uma constante diferente).

Veja também Vitali cobrindo o lema Referências Besicovitch, UMA. S. (1945), "Uma forma geral do princípio de cobertura e diferenciação relativa de funções aditivas, EU", Anais da Sociedade Filosófica de Cambridge, 41 (02): 103-110, doi:10.1017/S0305004100022453. "Uma forma geral do princípio de cobertura e diferenciação relativa de funções aditivas, II", Anais da Sociedade Filosófica de Cambridge, 42: 205-235, 1946, doi:10.1017/s0305004100022660. Di Benedetto, E (2002), Análise real, Birkhauser, ISBN 0-8176-4231-5. Furedi, Z; Loeb, P.A.. (1994), "Sobre a melhor constante para o teorema de cobertura de Besicovitch", Anais da American Mathematical Society, 121 (4): 1063-1073, doi:10.2307/2161215, JSTOR 2161215. Categorias: Cobrindo lemasTeoremas em análise