Teorema di copertura di Besicovitch

Teorema di copertura di Besicovitch In analisi matematica, una copertina di Besicovitch, dal nome di Abram Samoiloviè Besicoviè, è una copertura aperta di un sottoinsieme E dello spazio euclideo RN da sfere tale che ogni punto di E sia il centro di una sfera nella copertura.

Il teorema di copertura di Besicovitch afferma che esiste una costante cN dipendente solo dalla dimensione N con la seguente proprietà: Data una qualsiasi copertina di Besicovitch F di un insieme limitato E, ci sono cN sottoraccolte di palline A1 ={Bn1}, …, AcN ={Bnc N} contenuto in F tale che ogni raccolta Ai consiste di palle disgiunte, e {displaystyle Esubseteq bigcup _{io=1}^{c_{N}}tazza grande _{Mille A_{io}}B.} Sia G la sottoraccolta di F costituita da tutte le sfere delle cN famiglie disgiunte A1,...,AcN. La seguente affermazione meno precisa è chiaramente vera: ogni punto x ∈ RN appartiene al massimo a cN sfere diverse dalla sottocollezione G, e G rimane una copertura per E (ogni punto y ∈ E appartiene ad almeno una pallina della sottocollezione G). Questa proprietà dà effettivamente una forma equivalente per il teorema (ad eccezione del valore della costante).

Esiste una costante bN che dipende solo dalla dimensione N con la seguente proprietà: Data una qualsiasi copertina di Besicovitch F di un insieme limitato E, esiste una sottoraccolta G di F tale che G è una copertura dell'insieme E e ogni punto x ∈ E appartiene al massimo a bN sfere diverse dalla sottocopertura G.

In altre parole, la funzione SG uguale alla somma delle funzioni indicatori delle palline in G è maggiore di 1E e delimitata su RN dalla costante bN, {displaystyle mathbf {1} _{e}leq S_{mathbf {G} }:=somma _{Bin mathbf {G} }mathbf {1} _{B}leq b_{N}.} Application to maximal functions and maximal inequalities Let μ be a Borel non-negative measure on RN, finito su sottoinsiemi compatti e sia f una funzione μ-integrabile. Definire la funzione massima {stile di visualizzazione f^{*}} impostando per ogni x (utilizzando la convenzione {displaystyle infinite volte 0=0} ) {stile di visualizzazione f^{*}(X)= sup _{r>0}{Grande (}in (B(X,r))^{-1}int _{B(X,r)}|f(y)|,dm (y){Più grande )}.} Questa funzione massima è semicontinua inferiore, quindi misurabile. The following maximal inequality is satisfied for every λ > 0 : {displaystyle lambda ,in {all'improvviso (}{X:f^{*}(X)>lambda }{più grande )}leq b_{N},int |f|,dm .} Prova.

L'insieme Eλ dei punti x tale che {stile di visualizzazione f^{*}(X)>lambda } ammette chiaramente una copertura di Besicovitch Fλ di palline B tale che {displaystyle int mathbf {1} _{B},|f| sangue = tu _{B}|f(y)|,dm (y)>lambda ,in (B).} Per ogni sottoinsieme Borel limitato E´ di Eλ, one can find a subcollection G extracted from Fλ that covers E´ and such that SG ≤ bN, quindi {stile di visualizzazione {inizio{allineato}lambda ,in (E')&leq lambda ,somma _{Bin mathbf {G} }in (B)\&leq sum _{Bin mathbf {G} }int mathbf {1} _{B},|f|,dmu =int S_{mathbf {G} },|f|,dmu leq b_{N},int |f|,dm ,fine{allineato}}} che implica la disuguaglianza di cui sopra.

Quando si tratta della misura Lebesgue su RN, è più consueto usare il più facile (e più vecchio) Vitali che copre il lemma per derivare la precedente disuguaglianza massima (con una costante diversa).

Vedi anche Vitali che copre il lemma Riferimenti Besicovitch, UN. S. (1945), "Una forma generale del principio di copertura e relativa differenziazione delle funzioni additivi, io", Atti della Cambridge Philosophical Society, 41 (02): 103–110, doi:10.1017/S0305004100022453. "Una forma generale del principio di copertura e relativa differenziazione delle funzioni additivi, II", Atti della Cambridge Philosophical Society, 42: 205–235, 1946, doi:10.1017/s0305004100022660. DiBenedetto, e (2002), Analisi reale, Birkhauser, ISBN 0-8176-4231-5. Furedi, Z; Loeb, PAPÀ. (1994), "Sulla costante migliore per il teorema di copertura di Besicovitch", Atti dell'American Mathematical Society, 121 (4): 1063–1073, doi:10.2307/2161215, JSTOR 2161215. Categorie: Lemmi di copertura Teoremi in analisi