Théorème de recouvrement de Besicovitch

Théorème de couverture de Besicovitch En analyse mathématique, une reprise de Besicovitch, nommé d'après Abram Samoilovitch Besicovitch, est un couvercle ouvert d'un sous-ensemble E de l'espace euclidien RN par boules tel que chaque point de E est le centre d'une boule dans le couvercle.

Le théorème de couverture de Besicovitch affirme qu'il existe une constante cN dépendant uniquement de la dimension N avec la propriété suivante: Étant donné toute couverture de Besicovitch F d'un ensemble borné E, il existe cN sous-ensembles de boules A1 ={Bn1}, …, AcN ={BncN} contenue dans F telle que chaque collection Ai est constituée de boules disjointes, et {style d'affichage Esubseteq bigcup _{je=1}^{c_{N}}grande tasse _{Mille A_{je}}B} Soit G la sous-collection de F constituée de toutes les boules des cN familles disjointes A1,...,AcN. La déclaration suivante moins précise est clairement vraie: tout point x ∈ RN appartient à au plus cN boules différentes de la sous-collection G, et G reste une couverture pour E (tout point y ∈ E appartient à au moins une boule de la sous-collection G). Cette propriété donne en fait une forme équivalente pour le théorème (à l'exception de la valeur de la constante).

Il existe une constante bN dépendant uniquement de la dimension N avec la propriété suivante: Étant donné toute couverture de Besicovitch F d'un ensemble borné E, il existe une sous-collection G de F telle que G est une couverture de l'ensemble E et tout point x ∈ E appartient à au plus bN boules différentes de la sous-couverture G.

Autrement dit, la fonction SG égale à la somme des fonctions indicatrices des billes dans G est supérieure à 1E et bornée sur RN par la constante bN, {style d'affichage mathbf {1} _{E}leq S_{mathbf {g} }:=somme _{Bin mathbf {g} }mathbf {1} _{B}leq b_{N}.} Application to maximal functions and maximal inequalities Let μ be a Borel non-negative measure on RN, finie sur des sous-ensembles compacts et soit f une fonction μ-intégrable. Définir la fonction maximale {style d'affichage f^{*}} en fixant pour chaque x (en utilisant la convention {style d'affichage infty fois 0=0} ) {style d'affichage f^{*}(X)=sup _{r>0}{Gros (}dans (B(X,r))^{-1}entier _{B(X,r)}|F(y)|,dmu (y){Plus grand )}.} Cette fonction maximale est semi-continue inférieure, donc mesurable. The following maximal inequality is satisfied for every λ > 0 : {style d'affichage lambda ,dans {soudain (}{X:f ^{*}(X)>lambda }{plus grand )}leq b_{N},entier |F|,dmu .} Preuve.

L'ensemble Eλ des points x tels que {style d'affichage f^{*}(X)>lambda } admet clairement une couverture de Besicovitch Fλ par des boules B telle que {style d'affichage int mathbf {1} _{B},|F| sang = toi _{B}|F(y)|,dmu (y)>lambda ,dans (B).} Pour tout sous-ensemble de Borel borné E´ de Eλ, one can find a subcollection G extracted from Fλ that covers E´ and such that SG ≤ bN, Par conséquent {style d'affichage {commencer{aligné}lambda ,dans (E')&leq lambda ,somme _{Bin mathbf {g} }dans (B)\&leq sum _{Bin mathbf {g} }int mathbf {1} _{B},|F|,dmu = int S_{mathbf {g} },|F|,dmu leq b_{N},entier |F|,dmu ,fin{aligné}}} ce qui implique l'inégalité ci-dessus.

Face à la mesure Lebesgue sur RN, il est plus habituel d'utiliser le plus facile (et plus) Vitali couvrant le lemme afin de dériver l'inégalité maximale précédente (avec une autre constante).

Voir aussi Vitali couvrant le lemme Références Besicovitch, UN. S. (1945), "Une forme générale du principe de recouvrement et différenciation relative des fonctions additives, je", Actes de la Cambridge Philosophical Society, 41 (02): 103–110, est ce que je:10.1017/S0305004100022453. "Une forme générale du principe de recouvrement et différenciation relative des fonctions additives, II", Actes de la Cambridge Philosophical Society, 42: 205–235, 1946, est ce que je:10.1017/s0305004100022660. DiBenedetto, E (2002), Analyse réelle, Birkhauser, ISBN 0-8176-4231-5. Furedi, Z; Loeb, PENNSYLVANIE. (1994), "Sur la meilleure constante du théorème de couverture de Besicovitch", Actes de l'American Mathematical Society, 121 (4): 1063–1073, est ce que je:10.2307/2161215, JSTOR 2161215. Catégories: Lemmes de recouvrementThéorèmes en analyse