Überlagerungssatz von Besicovitch

Besicovitch-Abdeckungssatz In der mathematischen Analyse, ein Besicovitch-Cover, benannt nach Abram Samoilovitch Besicovitch, ist eine offene Abdeckung einer Teilmenge E des euklidischen Raums RN durch Kugeln, so dass jeder Punkt von E der Mittelpunkt einer Kugel in der Abdeckung ist.

Der Überdeckungssatz von Besicovitch behauptet, dass es eine Konstante cN gibt, die nur von der Dimension N mit der folgenden Eigenschaft abhängt: Gegeben sei eine beliebige Besicovitch-Überdeckung F einer beschränkten Menge E, es gibt cN Untersammlungen von Kugeln A1 ={Bn1}, …, AcN ={BncN} in F enthalten, so dass jede Sammlung Ai aus disjunkten Kugeln besteht, und {displaystyle Esubseteq bigcup _{i=1}^{c_{N}}große Tasse _{Tausend A_{ich}}B.} Sei G die Teilsammlung von F, die aus allen Kugeln der cN-disjunkten Familien A1,...,AcN besteht. Die weniger präzise folgende Aussage ist eindeutig wahr: jeder Punkt x ∈ RN gehört zu höchstens cN verschiedenen Kugeln aus der Teilmenge G, und G bleibt eine Deckung für E (jeder Punkt y ∈ E gehört zu mindestens einer Kugel aus der Teilmenge G). Diese Eigenschaft gibt tatsächlich eine äquivalente Form für das Theorem (außer dem Wert der Konstante).

Es existiert eine nur von der Dimension N abhängige Konstante bN mit folgender Eigenschaft: Gegeben sei eine beliebige Besicovitch-Überdeckung F einer beschränkten Menge E, es gibt eine Untersammlung G von F, so dass G eine Überdeckung der Menge E ist und jeder Punkt x ∈ E zu höchstens bN verschiedenen Kugeln aus der Unterüberdeckung G gehört.

Mit anderen Worten, die Funktion SG gleich der Summe der Indikatorfunktionen der Kugeln in G ist größer als 1E und auf RN durch die Konstante bN begrenzt, {Anzeigestil mathbf {1} _{E}leq S_{mathbf {G} }:= Summe _{Bin mathbf {G} }mathbf {1} _{B}leq b_{N}.} Application to maximal functions and maximal inequalities Let μ be a Borel non-negative measure on RN, endlich auf kompakten Teilmengen und sei f eine μ-integrierbare Funktion. Definiere die maximale Funktion {Anzeigestil f^{*}} durch Einstellung für jedes x (unter Verwendung der Konvention {displaystyle fünfzigmal 0=0} ) {Anzeigestil f^{*}(x)=sup _{r>0}{Groß (}in (B(x,r))^{-1}int _{B(x,r)}|f(j)|,dmu (j){Größer )}.} Diese Maximalfunktion ist unterhalbstetig, also messbar. The following maximal inequality is satisfied for every λ > 0 : {Display-Lambda ,in {plötzlich (}{x:f^{*}(x)>lambda }{größer )}leq b_{N},int |f|,dmu .} Nachweisen.

Die Menge Eλ der Punkte x so dass {Anzeigestil f^{*}(x)>lambda } lässt eindeutig eine Besicovitch-Abdeckung Fλ durch Kugeln B zu, so dass {displaystyle int mathbf {1} _{B},|f| Blut = du _{B}|f(j)|,dmu (j)>lambda ,in (B).} Für jede beschränkte Borel-Teilmenge E´ von Eλ, one can find a subcollection G extracted from Fλ that covers E´ and such that SG ≤ bN, somit {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}Lambda ,in (E')&leq lambda ,Summe _{Bin mathbf {G} }in (B)\&leq sum _{Bin mathbf {G} }int mathbf {1} _{B},|f|,dmu =int S_{mathbf {G} },|f|,dmu leq b_{N},int |f|,dmu ,Ende{ausgerichtet}}} was die obige Ungleichung impliziert.

Beim Umgang mit dem Lebesgue-Maß auf RN, es ist üblicher, das einfachere zu verwenden (und älter) Vitali, der das Lemma abdeckt, um die vorherige maximale Ungleichung abzuleiten (mit einer anderen Konstante).

Siehe auch Vitali, der das Lemma abdeckt. Referenzen Besicovitch, EIN. S. (1945), "Eine allgemeine Form des Überdeckungsprinzips und relative Differenzierung additiver Funktionen, ich", Proceedings der Cambridge Philosophical Society, 41 (02): 103–110, doi:10.1017/S0305004100022453. "Eine allgemeine Form des Überdeckungsprinzips und relative Differenzierung additiver Funktionen, II", Proceedings der Cambridge Philosophical Society, 42: 205–235, 1946, doi:10.1017/s0305004100022660. DiBenedetto, E (2002), Echte Analyse, Birkhäuser, ISBN 0-8176-4231-5. Füredi, Z; Loeb, PA. (1994), "Über die beste Konstante für den Überdeckungssatz von Besicovitch", Verfahren der American Mathematical Society, 121 (4): 1063–1073, doi:10.2307/2161215, JSTOR 2161215. Kategorien: Abdeckende LemmataTheoreme in Analysis