Il postulato di Bertrand
Il postulato di Bertrand Nella teoria dei numeri, Il postulato di Bertrand è un teorema che afferma che per qualsiasi intero {displaystyle n>3} , esiste sempre almeno un numero primo {stile di visualizzazione p} insieme a {stile di visualizzazione n
Altre generalizzazioni del Postulato di Bertrand sono state ottenute utilizzando metodi elementari. (Nel seguente, n scorre attraverso l'insieme degli interi positivi.) In 2006, M. El Bachraoui ha dimostrato che esiste un numero primo tra 2n e 3n.[5] In 1973, Denis Hanson ha dimostrato che esiste un numero primo compreso tra 3n e 4n.[6] Inoltre, in 2011, Andy Loo ha dimostrato che come n tende all'infinito, anche il numero dei primi tra 3n e 4n va all'infinito,[7] generalizzando così i risultati di Erdős e Ramanujan (vedere la sezione sui teoremi di Erdős di seguito). Il primo risultato si ottiene con metodi elementari. Il secondo si basa sui limiti analitici per la funzione fattoriale.
Il postulato di Bertrand del teorema di Sylvester è stato proposto per applicazioni ai gruppi di permutazione. Silvestro (1814–1897) generalizzato l'affermazione più debole con l'affermazione: il prodotto di k interi consecutivi maggiori di k è divisibile per un primo maggiore di k. di Bertrand (più debole) postulato segue da questo prendendo k = n, e considerando i k numeri n + 1, n + 2, fino al n + k = 2 n, where n > 1. Secondo la generalizzazione di Silvestro, uno di questi numeri ha un fattore primo maggiore di k. Poiché tutti questi numeri sono inferiori a 2(K + 1), il numero con un fattore primo maggiore di k ha un solo fattore primo, e quindi è un numero primo. Si noti che 2n non è primo, e quindi in effetti ora sappiamo che esiste un numero primo p con n < p < 2n. Erdős's theorems In 1932, Erdős (1913–1996) also published a simpler proof using binomial coefficients and the Chebyshev function θ, defined as: {displaystyle vartheta (x)=sum _{p=2}^{x}ln(p)} where p ≤ x runs over primes. See proof of Bertrand's postulate for the details.[8] Erdős proved in 1934 that for any positive integer k, there is a natural number N such that for all n > N, ci sono almeno k primi tra n e 2n. Una dichiarazione equivalente era stata dimostrata 1919 di Ramanujan (vedi Ramanujan primo).
Risultati migliori Ne consegue dal teorema dei numeri primi che per ogni numero reale {displaystyle varepsilon >0} c'è un {stile di visualizzazione n_{0}>0} tale che per tutti {displaystyle n>n_{0}} c'è un primo {stile di visualizzazione p} tale che {stile di visualizzazione n Se vuoi conoscere altri articoli simili a Il postulato di Bertrand puoi visitare la categoria Teoremi matematici.
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