Teorema de Bernstein sobre funções monótonas

Teorema de Bernstein sobre funções monótonas Na análise real, um ramo da matemática, O teorema de Bernstein afirma que toda função de valor real na meia linha [0, ∞) que é totalmente monótono é uma mistura de funções exponenciais. Em um caso especial importante, a mistura é uma média ponderada, ou valor esperado.

Monotonicidade total (às vezes também completa monotonicidade) de uma função f significa que f é contínua em [0, ∞), infinitamente diferenciável em (0, ∞), e satisfaz {estilo de exibição (-1)^{n}{fratura {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)geq 0} for all nonnegative integers n and for all t > 0. Outra convenção coloca a desigualdade oposta na definição acima.

o "média ponderada" afirmação pode ser assim caracterizada: existe uma medida de Borel finita não negativa em [0, ∞) com função de distribuição cumulativa g tal que {estilo de exibição f(t)=int_{0}^{infty }e^{-tx},dg(x),} a integral sendo uma integral de Riemann-Stieltjes.

Em linguagem mais abstrata, o teorema caracteriza as transformadas de Laplace de medidas de Borel positivas em [0, ∞). Nesta forma, é conhecido como o teorema de Bernstein-Widder, ou teorema de Hausdorff-Bernstein-Widder. Felix Hausdorff já havia caracterizado sequências completamente monótonas. Estas são as sequências que ocorrem no problema do momento de Hausdorff.

Bernstein functions Nonnegative functions whose derivative is completely monotone are called Bernstein functions. Toda função de Bernstein tem a representação de Lévy-Khintchine: {estilo de exibição f(t)=a+bt+int _{0}^{infty }deixei(1-e^{-tx}certo)dentro (dx),} Onde {estilo de exibição a,E se 0} e {mostre o estilo dele } é uma medida na semi-linha real positiva tal que {estilo de exibição int _{0}^{infty }deixei(1cunha xdireita)dentro (dx)

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