Teorema di Bernstein sulle funzioni monotone

Il teorema di Bernstein sulle funzioni monotone Nell'analisi reale, una branca della matematica, Il teorema di Bernstein afferma che ogni funzione a valori reali sulla semiretta [0, ∞) che è totalmente monotono è una miscela di funzioni esponenziali. In un caso speciale importante la miscela è una media ponderata, o valore atteso.

Monotonia totale (a volte anche completa monotonia) di una funzione f significa che f è continua [0, ∞), infinitamente differenziabile su (0, ∞), e soddisfa {stile di visualizzazione (-1)^{n}{frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)geq 0} for all nonnegative integers n and for all t > 0. Un'altra convenzione pone la disuguaglianza opposta nella definizione di cui sopra.

Il "media ponderata" affermazione può essere così caratterizzata: esiste una misura Borel finita non negativa attiva [0, ∞) con funzione di distribuzione cumulativa g tale che {stile di visualizzazione f(t)=int _{0}^{infty }e^{-tx},dig(X),} l'integrale è un integrale di Riemann-Stieltjes.

In un linguaggio più astratto, il teorema caratterizza le trasformate di Laplace di misure di Borel positive su [0, ∞). In questa forma è noto come teorema di Bernstein-Widder, o teorema di Hausdorff-Bernstein-Widder. Felix Hausdorff aveva precedentemente caratterizzato sequenze completamente monotone. Queste sono le sequenze che si verificano nel problema del momento di Hausdorff.

Bernstein functions Nonnegative functions whose derivative is completely monotone are called Bernstein functions. Ogni funzione di Bernstein ha la rappresentazione di Lévy-Khintchine: {stile di visualizzazione f(t)=a+bt+int _{0}^{infty }sinistra(1-e^{-tx}Giusto)in (dx),} dove {stile di visualizzazione a,Se 0} e {displaystyle lui } è una misura sulla semiretta reale positiva tale che {displaystyle int _{0}^{infty }sinistra(1cuneo xdestra)in (dx)

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