Théorème de Bernstein sur les fonctions monotones

Théorème de Bernstein sur les fonctions monotones En analyse réelle, une branche des mathématiques, Le théorème de Bernstein stipule que chaque fonction à valeur réelle sur la demi-droite [0, ∞) qui est totalement monotone est un mélange de fonctions exponentielles. Dans un cas particulier important, le mélange est une moyenne pondérée, ou valeur attendue.

Monotonie totale (parfois aussi une monotonie complète) d'une fonction f signifie que f est continue sur [0, ∞), infiniment différentiable sur (0, ∞), et satisfait {style d'affichage (-1)^{n}{frac {d^{n}}{dt ^{n}}}F(t)gq 0} for all nonnegative integers n and for all t > 0. Une autre convention met l'inégalité opposée dans la définition ci-dessus.

La "moyenne pondérée" l'énoncé peut être caractérisé ainsi: il existe une mesure de Borel finie non négative sur [0, ∞) avec la fonction de distribution cumulative g telle que {style d'affichage f(t)=int _{0}^{infime }e ^{-tx},dg(X),} l'intégrale étant une intégrale de Riemann – Stieltjes.

Dans un langage plus abstrait, le théorème caractérise les transformées de Laplace des mesures boréliennes positives sur [0, ∞). Sous cette forme, il est connu sous le nom de théorème de Bernstein-Widder, ou théorème de Hausdorff – Bernstein – Widder. Felix Hausdorff avait auparavant caractérisé des séquences complètement monotones. Ce sont les séquences apparaissant dans le problème des moments de Hausdorff.

Bernstein functions Nonnegative functions whose derivative is completely monotone are called Bernstein functions. Chaque fonction de Bernstein a la représentation de Lévy-Khintchine: {style d'affichage f(t)=a+bt+int _{0}^{infime }la gauche(1-e ^{-tx}droit)dans (dx),} où {style d'affichage a,si 0} et {style d'affichage lui } est une mesure sur la demi-droite réelle positive telle que {style d'affichage entier _{0}^{infime }la gauche(1coin droit)dans (dx)

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