Satz von Bernstein über monotone Funktionen

Satz von Bernstein über monotone Funktionen In der reellen Analyse, ein Zweig der Mathematik, Der Satz von Bernstein besagt, dass jede reellwertige Funktion auf der Halblinie [0, ∞) das total monoton ist, ist eine Mischung aus Exponentialfunktionen. In einem wichtigen Spezialfall ist die Mischung ein gewichteter Durchschnitt, oder Erwartungswert.

Totale Monotonie (manchmal auch völlige Monotonie) einer Funktion f bedeutet, dass f stetig ist [0, ∞), unendlich differenzierbar auf (0, ∞), und befriedigt {Anzeigestil (-1)^{n}{frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)geq 0} for all nonnegative integers n and for all t > 0. Eine andere Konvention setzt die entgegengesetzte Ungleichung in die obige Definition.

Das "gewichteter Durchschnitt" Aussage lässt sich so charakterisieren: gibt es ein nicht-negatives endliches Borel-Maß an [0, ∞) mit kumulativer Verteilungsfunktion g so dass {Anzeigestil f(t)=int _{0}^{unendlich }e^{-tx},dg(x),} das Integral ist ein Riemann-Stieltjes-Integral.

In abstrakterer Sprache, der Satz charakterisiert Laplace-Transformationen positiver Borel-Maße weiter [0, ∞). In dieser Form ist es als Bernstein-Widder-Theorem bekannt, oder Satz von Hausdorff-Bernstein-Widder. Felix Hausdorff hatte zuvor völlig monotone Sequenzen charakterisiert. Dies sind die Folgen, die beim Hausdorff-Moment-Problem auftreten.

Bernsteinfunktionen Nichtnegative Funktionen, deren Ableitung vollständig monoton ist, werden Bernsteinfunktionen genannt. Jede Bernstein-Funktion hat die Lévy-Khintchine-Darstellung: {Anzeigestil f(t)=a+bt+int _{0}^{unendlich }links(1-e^{-tx}Rechts)in (dx),} wo {Anzeigestil a,wenn 0} und {zeige ihn an } ist ein Maß auf der positiven reellen Halblinie, so dass {Anzeigestil int _{0}^{unendlich }links(1Keil xrechts)in (dx)

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