Inégalité isoembolique de Berger

Inégalité isoembolique de Berger (Redirigé à partir du théorème de comparaison Berger-Kazdan) Aller à la navigation Aller à la recherche En mathématiques, L'inégalité isoembolique de Berger est un résultat de la géométrie riemannienne qui donne une borne inférieure sur le volume d'une variété riemannienne et donne également une condition nécessaire et suffisante pour que la variété soit isométrique à la sphère à m dimensions avec son habituel "tour" métrique. Le théorème porte le nom du mathématicien Marcel Berger, qui l'a dérivé d'une inégalité prouvée par Jerry Kazdan.

Énoncé du théorème Soit (M, g) une variété riemannienne fermée de dimension m de rayon d'injectivité inj(M). Laissez vol(M) désigne le volume riemannien de M et soit cm le volume de la sphère standard à m dimensions de rayon un. Alors {style d'affichage mathrm {volume} (M)gq {frac {c_{m}(mathrm {injection} (M))^{m}}{pi ^{m}}},} avec égalité si et seulement si (M, g) est isométrique à la m-sphère avec sa métrique ronde habituelle. Ce résultat est connu sous le nom d'inégalité isoembolique de Berger.[1] La preuve repose sur une inégalité analytique démontrée par Kazdan.[2] L'ouvrage original de Berger et Kazdan figure dans les annexes du livre d'Arthur Besse "Variétés dont toutes les géodésiques sont fermées." À ce stade, l'inégalité isoembolique est apparue avec une constante non optimale.[3] Parfois, l'inégalité de Kazdan est appelée inégalité de Berger-Kazdan.[4] Références ^ Berger 2003, Théorème 148; Chavel 1984, Théorème V.22; Chavel 2006, Théorème VII.2.2; Sakai 1996, Théorème VI.2.1. ^ Berger 2003, Lemme 158; Besse 1978, Annexe E; Chavel 1984, Théorème V.1; Chavel 2006, Théorème VII.2.1; Sakai 1996, Proposition VI.2.2. ^ Besse 1978, Annexe D. ^ Chaval 1984, Théorème V.1.

Livres.

Berger, Marcel (2003). Une vue panoramique de la géométrie riemannienne. Berlin: Springer Verlag. est ce que je:10.1007/978-3-642-18245-7. ISBN 3-540-65317-1. M 2002701. Zbl 1038.53002. Besse, Arthur L.. (1978). Variétés dont toutes les géodésiques sont fermées. Résultats des mathématiques et leurs zones frontalières. Volume. 93. Annexes par D. B. UN. Epstein, J.-P. Bourguignon, L. Bérard-Bergery, M. Berger et J.. L. De Kaz. Berlin–New York: Springer Verlag. est ce que je:10.1007/978-3-642-61876-5. ISBN 3-540-08158-5. M 0496885. Zbl 0387.53010. Chavel, Isaac (1984). Valeurs propres en géométrie riemannienne. Mathématiques pures et appliquées. Volume. 115. Orlando, Floride: Presse académique. est ce que je:10.1016/s0079-8169(08)x6051-9. ISBN 0-12-170640-0. M 0768584. Zbl 0551.53001. Chavel, Isaac (2006). Géométrie riemannienne. Une introduction moderne. Études de Cambridge en mathématiques avancées. Volume. 98 (Deuxième édition de 1993 original ed.). Cambridge: la presse de l'Universite de Cambridge. est ce que je:10.1017/CBO9780511616822. ISBN 978-0-521-61954-7. M 2229062. Zbl 1099.53001. Sakai, Takashi (1996). Géométrie riemannienne. Traductions de monographies mathématiques. Volume. 149. Providence, IR: Société mathématique américaine. est ce que je:10.1090/voir/1. ISBN 0-8218-0284-4. M 1390760. Zbl 0886.53002. Weissstein externe gauche, Eric W. "Théorème de comparaison de Berger-Kazdan". MathWorld.

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