Bergers isoembolische Ungleichung

Bergers isoembolische Ungleichung (Umgeleitet vom Berger-Kazdan-Vergleichssatz) Zur Navigation springen Zur Suche springen In der Mathematik, Bergers isoembolische Ungleichung ist ein Ergebnis der Riemannschen Geometrie, die eine untere Grenze für das Volumen einer Riemannschen Mannigfaltigkeit angibt und auch eine notwendige und ausreichende Bedingung dafür gibt, dass die Mannigfaltigkeit isometrisch zur m-dimensionalen Sphäre mit ihrem Üblichen ist "runden" metrisch. Der Satz ist nach dem Mathematiker Marcel Berger benannt, der es aus einer von Jerry Kazdan bewiesenen Ungleichung ableitete.

Aussage des Theorems Let (M, g) sei eine abgeschlossene m-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Injektivitätsradius inj(M). Lassen Sie vol(M) das Riemannsche Volumen von M bezeichnen und cm das Volumen der m-dimensionalen Standardkugel mit Radius eins bezeichnen. Dann {Anzeigestil mathrm {vol} (M)geq {frac {c_{m}(Mathrm {inj} (M))^{m}}{Pi ^{m}}},} mit Gleichheit genau dann (M, g) ist isometrisch zur m-Sphäre mit ihrer üblichen runden Metrik. Dieses Ergebnis ist als isoembolische Ungleichung nach Berger bekannt.[1] Der Beweis beruht auf einer von Kazdan bewiesenen analytischen Ungleichung.[2] Die Originalarbeit von Berger und Kazdan erscheint in den Anhängen von Arthur Besses Buch "Mannigfaltigkeiten, deren Geodäten alle geschlossen sind." In diesem Stadium, die isoembolische Ungleichheit trat mit einer nicht optimalen Konstante auf.[3] Manchmal wird Kazdans Ungleichung als Berger-Kazdan-Ungleichung bezeichnet.[4] Referenzen ^ Berger 2003, Satz 148; Chavel 1984, Satz V.22; Chavel 2006, Satz VII.2.2; Sakai 1996, Satz VI.2.1. ^ Berger 2003, Lemma 158; Besse 1978, Anhang E; Chavel 1984, Satz V.1; Chavel 2006, Satz VII.2.1; Sakai 1996, Vorschlag VI.2.2. ^ Besse 1978, Anhang D. ^ Chavel 1984, Satz V.1.

Bücher.

Berger, Marcel (2003). Ein Panoramablick auf die Riemannsche Geometrie. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-18245-7. ISBN 3-540-65317-1. HERR 2002701. Zbl 1038.53002. Besse, Artur L. (1978). Mannigfaltigkeiten, deren Geodäten alle geschlossen sind. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Vol. 93. Anhänge von D. B. EIN. Epstein, J.-P. Burgundisch, L. Berard-Bergery, M. Berger und J. L. Von Kas. Berlin–New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-61876-5. ISBN 3-540-08158-5. HERR 0496885. Zbl 0387.53010. Chavel, Isaak (1984). Eigenwerte in der Riemannschen Geometrie. Reine und Angewandte Mathematik. Vol. 115. Orlando, FL: Akademische Presse. doi:10.1016/s0079-8169(08)x6051-9. ISBN 0-12-170640-0. HERR 0768584. Zbl 0551.53001. Chavel, Isaak (2006). Riemannsche Geometrie. Eine moderne Einführung. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 98 (Zweite Ausgabe von 1993 original ed.). Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511616822. ISBN 978-0-521-61954-7. HERR 2229062. Zbl 1099.53001. Sakai, Takashi (1996). Riemannsche Geometrie. Übersetzungen mathematischer Monographien. Vol. 149. Vorsehung, RI: Amerikanische Mathematische Gesellschaft. doi:10.1090/siehe/1. ISBN 0-8218-0284-4. HERR 1390760. Zbl 0886.53002. External links Weisstein, Erich W. "Berger-Kazdan-Vergleichssatz". MathWorld.

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