Teorema de Bendixson-Dulac

Teorema de Bendixson-Dulac Em matemática, o teorema de Bendixson-Dulac em sistemas dinâmicos afirma que se existe um {estilo de exibição C^{1}} função {estilo de exibição varphi (x,y)} (chamada de função Dulac) such that the expression According to Dulac theorem any 2D autonomous system with a periodic orbit has a region with positive and a region with negative divergence inside such orbit. Aqui representado por regiões vermelhas e verdes, respectivamente {estilo de exibição {fratura {parcial (varphi f)}{x parcial}}+{fratura {parcial (varphi g)}{y parcial}}} tem o mesmo sinal ( {estilo de exibição neq 0} ) em quase todos os lugares em uma região simplesmente conectada do plano, então o sistema autônomo do avião {estilo de exibição {fratura {dx}{dt}}=f(x,y),} {estilo de exibição {fratura {dy}{dt}}=g(x,y)} não tem soluções periódicas inconstantes inteiramente dentro da região.[1] "Quase em todos os lugares" significa em todos os lugares, exceto possivelmente em um conjunto de medidas 0, como um ponto ou linha.

O teorema foi estabelecido pela primeira vez pelo matemático sueco Ivar Bendixson em 1901 e aperfeiçoado pelo matemático francês Henri Dulac em 1923 usando o teorema de Green.

Proof Without loss of generality, deixe existir uma função {estilo de exibição varphi (x,y)} de tal modo que {estilo de exibição {fratura {parcial (varphi f)}{x parcial}}+{fratura {parcial (varphi g)}{y parcial}}>0} na região simplesmente conectada {estilo de exibição R} . Deixar {estilo de exibição C} ser uma trajetória fechada do sistema autônomo do avião em {estilo de exibição R} . Deixar {estilo de exibição D} ser o interior de {estilo de exibição C} . Então pelo teorema de Green, {estilo de exibição {começar{alinhado}&iint _{D}deixei({fratura {parcial (varphi f)}{x parcial}}+{fratura {parcial (varphi g)}{y parcial}}certo),dx,dy=oint _{C}deixei(-varphi g,dx+varphi f,certo)\[6pt]={}&oint _{C}varphi esquerda(-{ponto {y}},dx+{ponto {x}},certo).fim{alinhado}}} Por causa do sinal constante, a integral à esquerda na linha anterior deve resultar em um número positivo. Mas em {estilo de exibição C} , {estilo de exibição dx={ponto {x}},dt} e {estilo de exibição dy={ponto {y}},dt} , então o integrando inferior é de fato 0 everywhere and for this reason the right-hand integral evaluates to 0. Isso é uma contradição, então não pode haver tal trajetória fechada {estilo de exibição C} .

References Henri Dulac (1870-1955) was a French mathematician from Fayence ^ Burton, Theodore Allen (2005). Equações Integrais e Diferenciais de Volterra. Elsevier. p. 318. ISBN 9780444517869.

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