Teorema di Bendixson-Dulac

Teorema di Bendixson-Dulac In matematica, il teorema di Bendixson-Dulac sui sistemi dinamici afferma che se esiste a {stile di visualizzazione C^{1}} funzione {stile di visualizzazione varphi (X,y)} (chiamata funzione Dulac) such that the expression According to Dulac theorem any 2D autonomous system with a periodic orbit has a region with positive and a region with negative divergence inside such orbit. Qui rappresentato rispettivamente dalle regioni rosse e verdi {stile di visualizzazione {frac {parziale (varphi f)}{parziale x}}+{frac {parziale (varphi g)}{parziale y}}} ha lo stesso segno ( {stile di visualizzazione neq 0} ) quasi ovunque in una regione semplicemente connessa dell'aereo, quindi il sistema autonomo del piano {stile di visualizzazione {frac {dx}{dt}}=f(X,y),} {stile di visualizzazione {frac {dio}{dt}}=g(X,y)} non ha soluzioni periodiche non costanti che si trovano interamente all'interno della regione.[1] "Quasi ovunque" significa ovunque tranne forse in un insieme di misure 0, come un punto o una linea.

Il teorema è stato stabilito per la prima volta dal matematico svedese Ivar Bendixson in 1901 e ulteriormente perfezionato dal matematico francese Henri Dulac in 1923 usando il teorema di Green.

Proof Without loss of generality, lascia che esista una funzione {stile di visualizzazione varphi (X,y)} tale che {stile di visualizzazione {frac {parziale (varphi f)}{parziale x}}+{frac {parziale (varphi g)}{parziale y}}>0} in una regione semplicemente connessa {stile di visualizzazione R} . Permettere {stile di visualizzazione C} essere una traiettoria chiusa del sistema autonomo piano in {stile di visualizzazione R} . Permettere {stile di visualizzazione D} essere l'interno di {stile di visualizzazione C} . Poi per il teorema di Green, {stile di visualizzazione {inizio{allineato}&iint _{D}sinistra({frac {parziale (varphi f)}{parziale x}}+{frac {parziale (varphi g)}{parziale y}}Giusto),dx,dy = punto _{C}sinistra(-varphi g,dx+varphi f,Giusto)\[6pt]={}&oint _{C}varfi se ne andò(-{punto {y}},dx+{punto {X}},Giusto).fine{allineato}}} A causa del segno costante, l'integrale di sinistra nella riga precedente deve restituire un numero positivo. Ma su {stile di visualizzazione C} , {stile di visualizzazione dx={punto {X}},dt} e {stile di visualizzazione dy={punto {y}},dt} , quindi l'integrando inferiore è in effetti 0 everywhere and for this reason the right-hand integral evaluates to 0. Questa è una contraddizione, quindi non può esserci una traiettoria così chiusa {stile di visualizzazione C} .

References Henri Dulac (1870-1955) was a French mathematician from Fayence ^ Burton, Teodoro Allen (2005). Equazioni integrali e differenziali di Volterra. Altro. p. 318. ISBN 9780444517869.

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