Théorème de Bendixson-Dulac

Théorème de Bendixson-Dulac En mathématiques, le théorème de Bendixson-Dulac sur les systèmes dynamiques stipule que s'il existe un {displaystyle C^{1}} fonction {style d'affichage varphi (X,y)} (appelée la fonction Dulac) such that the expression According to Dulac theorem any 2D autonomous system with a periodic orbit has a region with positive and a region with negative divergence inside such orbit. Ici représentés respectivement par les régions rouges et vertes {style d'affichage {frac {partiel (varphi f)}{partiel x}}+{frac {partiel (varphi g)}{y partiel}}} a le même signe ( {style d'affichage neq 0} ) presque partout dans une région simplement connexe du plan, puis le système autonome de l'avion {style d'affichage {frac {dx}{dt}}=f(X,y),} {style d'affichage {frac {mourir}{dt}}= g(X,y)} n'a pas de solutions périodiques non constantes situées entièrement dans la région.[1] "Presque partout" signifie partout sauf éventuellement dans un ensemble de mesure 0, comme un point ou une ligne.

Le théorème a été établi pour la première fois par le mathématicien suédois Ivar Bendixson en 1901 et affiné par le mathématicien français Henri Dulac dans 1923 en utilisant le théorème de Green.

Proof Without loss of generality, qu'il existe une fonction {style d'affichage varphi (X,y)} tel que {style d'affichage {frac {partiel (varphi f)}{partiel x}}+{frac {partiel (varphi g)}{y partiel}}>0} en région simplement connexe {style d'affichage R} . Laisser {displaystyle C} être une trajectoire fermée du système autonome avion en {style d'affichage R} . Laisser {displaystyle D} être l'intérieur de {displaystyle C} . Alors par le théorème de Green, {style d'affichage {commencer{aligné}&iint _{ré}la gauche({frac {partiel (varphi f)}{partiel x}}+{frac {partiel (varphi g)}{y partiel}}droit),dx,dy=point _{C}la gauche(-varphi g,dx+varphi f,droit)\[6pt]={}&oint _{C}varphi gauche(-{point {y}},dx+{point {X}},droit).fin{aligné}}} A cause du signe constant, l'intégrale de gauche de la ligne précédente doit donner un nombre positif. Mais sur {displaystyle C} , {style d'affichage dx={point {X}},dt} et {style d'affichage dy={point {y}},dt} , donc l'intégrande inférieure est en fait 0 everywhere and for this reason the right-hand integral evaluates to 0. C'est un contresens, donc il ne peut y avoir une telle trajectoire fermée {displaystyle C} .

References Henri Dulac (1870-1955) was a French mathematician from Fayence ^ Burton, Théodore Allen (2005). Équations intégrales et différentielles de Volterra. Elsevier. p. 318. ISBN 9780444517869.

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