Satz von Bendixson-Dulac

Satz von Bendixson-Dulac In der Mathematik, Das Bendixson-Dulac-Theorem über dynamische Systeme besagt, dass, wenn es a gibt {Anzeigestil C^{1}} Funktion {Anzeigestil Varphi (x,j)} (wird als Dulac-Funktion bezeichnet) such that the expression According to Dulac theorem any 2D autonomous system with a periodic orbit has a region with positive and a region with negative divergence inside such orbit. Hier dargestellt durch rote bzw. grüne Regionen {Anzeigestil {frac {teilweise (Varphi f)}{teilweise x}}+{frac {teilweise (varphi g)}{teilweise y}}} hat das gleiche Vorzeichen ( {Anzeigestil neq 0} ) fast überall in einem einfach zusammenhängenden Bereich der Ebene, dann das autonome Flugzeugsystem {Anzeigestil {frac {dx}{dt}}= f(x,j),} {Anzeigestil {frac {dy}{dt}}=g(x,j)} hat keine nichtkonstanten periodischen Lösungen, die vollständig innerhalb des Bereichs liegen.[1] "Fast überall" bedeutet überall, außer möglicherweise in einer Reihe von Maßen 0, wie ein Punkt oder eine Linie.

Der Satz wurde zuerst vom schwedischen Mathematiker Ivar Bendixson in aufgestellt 1901 und weiter verfeinert durch den französischen Mathematiker Henri Dulac in 1923 unter Verwendung des Satzes von Green.

Proof Without loss of generality, lass es eine Funktion geben {Anzeigestil Varphi (x,j)} so dass {Anzeigestil {frac {teilweise (Varphi f)}{teilweise x}}+{frac {teilweise (varphi g)}{teilweise y}}>0} im einfach zusammenhängenden Bereich {Anzeigestil R} . Lassen {Anzeigestil C} sei eine geschlossene Flugbahn des ebenen autonomen Systems in {Anzeigestil R} . Lassen {Anzeigestil D} sei das Innere von {Anzeigestil C} . Dann nach dem Satz von Green, {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}&iint _{D}links({frac {teilweise (Varphi f)}{teilweise x}}+{frac {teilweise (varphi g)}{teilweise y}}Rechts),dx,dy=Punkt _{C}links(-varphi g,dx+varphi f,Rechts)\[6Punkt]={}&oint _{C}Warphi ist gegangen(-{Punkt {j}},dx+{Punkt {x}},Rechts).Ende{ausgerichtet}}} Wegen dem konstanten Vorzeichen, das linke Integral in der vorherigen Zeile muss eine positive Zahl ergeben. Aber weiter {Anzeigestil C} , {Anzeigestil dx={Punkt {x}},dt} und {Anzeigestil dy={Punkt {j}},dt} , also ist der untere Integrand tatsächlich 0 everywhere and for this reason the right-hand integral evaluates to 0. Dies ist ein Widerspruch, also kann es keine solche geschlossene Bahn geben {Anzeigestil C} .

References Henri Dulac (1870-1955) was a French mathematician from Fayence ^ Burton, Theodor Allen (2005). Volterra Integral- und Differentialgleichungen. Elsevier. p. 318. ISBN 9780444517869.

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