Teorema de Beltrami

Teorema de Beltrami No campo matemático da geometria diferencial, algum (pseudo-)A métrica Riemanniana determina uma certa classe de caminhos conhecidos como geodésicas. Teorema de Beltrami, nomeado para o matemático italiano Eugenio Beltrami, é um resultado do problema inverso de determinar um (pseudo-)Métrica Riemanniana de suas geodésicas.

Não é trivial ver que, em qualquer variedade Riemanniana de curvatura constante, existem coordenadas suaves em relação às quais todas as geodésicas não constantes aparecem como linhas retas. No caso de curvatura negativa da geometria hiperbólica, isso é justificado pelo modelo de Beltrami-Klein. No caso de curvatura positiva da geometria esférica, justifica-se pela projeção gnomônica. Na linguagem da geometria diferencial projetiva, esses gráficos mostram que qualquer variedade Riemanniana de curvatura constante é localmente projetivamente plana. De forma geral, qualquer variedade pseudo-Riemanniana de curvatura constante é localmente projetivamente plana.[1] O teorema de Beltrami afirma o inverso: qualquer variedade pseudo-Riemanniana conectada que seja localmente projetivamente plana deve ter curvatura constante.[2] Com o uso do cálculo tensorial, a prova é simples. Hermann Weyl descreveu a prova original de Beltrami (feito no caso bidimensional Riemanniano) como sendo muito mais complicado.[3] Relativo a um gráfico projetivamente plano, existem funções ρi tais que os símbolos de Christoffel assumem a forma {displaystyle Gama _{eu j}^{k}=rho_{eu}delta _{j}^{k}+rho _{j}delta _{eu}^{k}.} O cálculo direto mostra então que o tensor de curvatura de Riemann é dado por {estilo de exibição R_{ijkl}=(parcial _{eu}rho _{j}-parcial _{j}rho _{eu})g_{kl}+g_{jl}(parcial _{eu}rho _{k}-rho _{eu}rho _{k})-g_{il}(parcial _{j}rho _{k}-rho _{j}rho _{k}).} A simetria de curvatura Rijkl + Rjikl = 0 implica que ∂i ρj = ∂j ρi. A outra simetria de curvatura Rijkl = Rklij, rastreado sobre i e l, então diz que {estilo de exibição parcial _{j}rho _{k}-rho _{j}rho _{k}=g_{jk}{fratura {g^{il}(parcial _{eu}rho _{eu}-rho _{eu}rho _{eu})}{n}}} onde n é a dimensão da variedade. É direto verificar se o lado esquerdo é um (definido localmente) tensor Codazzi, usando apenas a forma dada dos símbolos de Christoffel. Segue do lema de Schur que gil(∂i ρl − ρi ρl) é constante. Substituindo a identidade acima no tensor de Riemann como dado acima, segue que o domínio do gráfico tem curvatura seccional constante - 1 / n gil(∂i ρl − ρi ρl). Pela conectividade do múltiplo, esta constância local implica constância global.

O teorema de Beltrami pode ser formulado na linguagem dos mapas geodésicos: se dado um mapa geodésico entre variedades pseudo-Riemannianas, uma variedade tem curvatura constante se e somente se a outra tem.

Referências ^ Schouten 1954, p. 292. ^ do Carmo 2016, p. 301; Eisenhart 1926, Seção 40; Schouten 1954, Seção VI.2; Arbusto 1961, Seção 5-3. ^ Beltrami 1868; Weyl 1921, Nota de rodapé na p. 110.

Fontes.

Beltrami, Eugênio (1868). "Teoria fundamental dos espaços de curvatura constante". Anais de Matemática Pura e Aplicada. Série II. 2 (1): 232-255. doi:10.1007/BF02419615. JFM 01.0208.03. do Carmo, Manfredo P. (2016). Differential geometry of curves & surfaces (Revised & updated second edition of 1976 original ed.). Mineola, Nova Iorque: Publicações de Dover, Inc. ISBN 978-0-486-80699-0. MR 3837152. Zbl 1352.53002. Eisenhart, Luther Pfahler (1926). Geometria Riemanniana. Reimpresso em 1997. Princeton: Imprensa da Universidade de Princeton. doi:10.1515/9781400884216. ISBN 0-691-02353-0. JFM 52.0721.01. Schouten, J. UMA. (1954). Ricci-cálculo. Uma introdução à análise tensorial e suas aplicações geométricas. Os ensinamentos básicos das ciências matemáticas. Volume. 10 (Segunda edição do 1923 original ed.). Berlim–Göttingen–Heidelberg: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-12927-2. ISBN 978-3-540-01805-6. MR 0066025. Zbl 0057.37803. Arbusto, Dirk J. (1961). Palestras sobre geometria diferencial clássica. Reimpresso em 1988. (Segunda edição do 1950 original ed.). Londres: Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-486-65609-8. MR 0939369. Zbl 0105.14707. Weyl, H. (1921). "Na geometria infinitesimal: Classificação da visão projetiva e conforme". Notícias da Sociedade de Ciências de Göttingen, aula de matematica e fisica: 99-112. JFM 48.0844.04. Weissstein esquerdo externo, Eric W. "Teorema de Beltrami". MathWorld. Categorias: Teoremas em Geometria Riemanniana