Il teorema di Beltrami

Il teorema di Beltrami Nel campo matematico della geometria differenziale, qualunque (pseudo-)La metrica riemanniana determina una certa classe di percorsi noti come geodetiche. Il teorema di Beltrami, prende il nome dal matematico italiano Eugenio Beltrami, è un risultato sul problema inverso di determinare a (pseudo-)Metrica riemanniana dalle sue geodetiche.

Non è banale vederlo, su qualsiasi varietà riemanniana di curvatura costante, ci sono coordinate lisce rispetto alle quali tutte le geodetiche non costanti appaiono come linee rette. Nel caso della curvatura negativa della geometria iperbolica, ciò è giustificato dal modello Beltrami-Klein. Nel caso della curvatura positiva della geometria sferica, è giustificato dalla proiezione gnomonica. Nel linguaggio della geometria differenziale proiettiva, questi grafici mostrano che qualsiasi varietà riemanniana di curvatura costante è localmente proiettivamente piatta. Più generalmente, qualsiasi varietà pseudo-riemanniana di curvatura costante è localmente proiettivamente piatta.[1] Il teorema di Beltrami afferma il contrario: qualsiasi varietà pseudo-riemanniana connessa che sia localmente proiettivamente piatta deve avere una curvatura costante.[2] Con l'uso del calcolo tensoriale, la prova è semplice. Hermann Weyl ha descritto la prova originale di Beltrami (fatto nel caso riemanniano bidimensionale) come molto più complicato.[3] Relativo a un grafico proiettivamente piatto, ci sono funzioni ρi tali che i simboli di Christoffel prendano la forma {stile di visualizzazione Gamma _{ij}^{K}=ro _{io}delta _{j}^{K}+ro _{j}delta _{io}^{K}.} Il calcolo diretto mostra quindi che il tensore di curvatura di Riemann è dato da {stile di visualizzazione R_{ijkl}=(parziale _{io}ro _{j}-parziale _{j}ro _{io})g_{kl}+g_{jl}(parziale _{io}ro _{K}-ro _{io}ro _{K})-g_{I l}(parziale _{j}ro _{K}-ro _{j}ro _{K}).} La simmetria della curvatura Rijkl + Rjikl = 0 implica che ∂i ρj = ∂j ρi. L'altra simmetria di curvatura Rijkl = Rklij, tracciato su i e l, poi lo dice {displaystyle parziale _{j}ro _{K}-ro _{j}ro _{K}=g_{jk}{frac {g^{I l}(parziale _{io}ro _{l}-ro _{io}ro _{l})}{n}}} dove n è la dimensione della varietà. È diretto verificare che il lato sinistro sia a (localmente definito) Tensore Codazzi, usando solo la forma data dei simboli di Christoffel. Segue dal lemma di Schur che gil(∂i ρl − ρi ρl) è costante. Sostituendo l'identità di cui sopra nel tensore di Riemann come indicato sopra, ne consegue che il dominio del grafico ha una curvatura di sezione costante − 1 / n gil(∂i ρl − ρi ρl). Per connessione del collettore, questa costanza locale implica una costanza globale.

Il teorema di Beltrami può essere formulato nel linguaggio delle mappe geodetiche: se data una mappa geodetica tra varietà pseudo-riemannane, una varietà ha curvatura costante se e solo se l'altra ce l'ha.

Riferimenti ^ Schouten 1954, p. 292. ^ fai Carmo 2016, p. 301; Eisenhart 1926, Sezione 40; Schouten 1954, Sezione VI.2; Arbusto 1961, Sezione 5-3. ^ Beltrami 1868; Weil 1921, Nota a piè di pagina a pag. 110.

Fonti.

Beltrami, Eugenio (1868). "Teoria fondamentale degli spazii di curvature costante". Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie II. 2 (1): 232–255. doi:10.1007/BF02419615. JFM 01.0208.03. fai Carmo, Manfredo P. (2016). Differential geometry of curves & surfaces (Revised & updated second edition of 1976 original ed.). Mineola, New York: Pubblicazioni di Dover, Inc. ISBN 978-0-486-80699-0. SIG 3837152. Zbl 1352.53002. Eisenhart, Lutero Pfahler (1926). Geometria riemanniana. Ristampato in 1997. Princeton: Stampa dell'Università di Princeton. doi:10.1515/9781400884216. ISBN 0-691-02353-0. JFM 52.0721.01. Schouten, J. UN. (1954). Ricci-calcolo. Introduzione all'analisi tensoriale e alle sue applicazioni geometriche. Gli insegnamenti di base delle scienze matematiche. vol. 10 (Seconda edizione di 1923 original ed.). Berlino–Göttingen–Heidelberg: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-12927-2. ISBN 978-3-540-01805-6. SIG 0066025. Zbl 0057.37803. Arbusto, Dirk J. (1961). Lezioni sulla geometria differenziale classica. Ristampato in 1988. (Seconda edizione di 1950 original ed.). Londra: Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-486-65609-8. SIG 0939369. Zbl 0105.14707. Weil, H. (1921). "Sulla geometria infinitesimale: Classificazione della visione proiettiva e conforme". Notizie dalla Società delle Scienze di Gottinga, Corso di matematica e fisica: 99–112. JFM 48.0844.04. Weissstein esterno sinistro, Eric W. "Il teorema di Beltrami". Math World. Categorie: Teoremi in geometria riemanniana