Théorème de Beltrami

Théorème de Beltrami Dans le domaine mathématique de la géométrie différentielle, n'importe quel (pseudo-)La métrique riemannienne détermine une certaine classe de chemins appelés géodésiques. Théorème de Beltrami, du nom du mathématicien italien Eugenio Beltrami, est un résultat du problème inverse de la détermination d'un (pseudo-)Métrique riemannienne à partir de ses géodésiques.

Il n'est pas trivial de voir que, sur toute variété riemannienne de courbure constante, il existe des coordonnées lisses par rapport auxquelles toutes les géodésiques non constantes apparaissent sous forme de lignes droites. Dans le cas de courbure négative de la géométrie hyperbolique, ceci est justifié par le modèle de Beltrami-Klein. Dans le cas de la courbure positive de la géométrie sphérique, elle est justifiée par la projection gnomonique. Dans le langage de la géométrie différentielle projective, ces graphiques montrent que toute variété riemannienne de courbure constante est localement projectivement plate. Plus généralement, toute variété pseudo-riemannienne à courbure constante est localement projectivement plate.[1] Le théorème de Beltrami affirme l'inverse: toute variété pseudo-riemannienne connexe qui est localement projectivement plate doit avoir une courbure constante.[2] Avec l'utilisation du calcul tensoriel, la preuve est simple. Hermann Weyl a décrit la preuve originale de Beltrami (fait dans le cas riemannien bidimensionnel) comme étant beaucoup plus compliqué.[3] Par rapport à un graphique projectivement plat, il existe des fonctions ρi telles que les symboles de Christoffel prennent la forme {style d'affichage Gamma _{ij}^{k}=rhô _{je}delta _{j}^{k}+rho _{j}delta _{je}^{k}.} Le calcul direct montre alors que le tenseur de courbure de Riemann est donné par {style d'affichage R_{ijkl}=(partiel _{je}rho _{j}-partiel _{j}rho _{je})g_{cl}+g_{jl}(partiel _{je}rho _{k}-rho _{je}rho _{k})-g_{il}(partiel _{j}rho _{k}-rho _{j}rho _{k}).} La symétrie de courbure Rijkl + Rjikl = 0 implique que ∂i ρj = ∂j ρi. L'autre symétrie de courbure Rijkl = Rklij, tracé sur i et l, dit alors que {style d'affichage partiel _{j}rho _{k}-rho _{j}rho _{k}=g_{jk}{frac {g^{il}(partiel _{je}rho _{je}-rho _{je}rho _{je})}{n}}} où n est la dimension de la variété. Il est direct de vérifier que le membre de gauche est un (défini localement) Tenseur de Codazzi, en utilisant uniquement la forme donnée des symboles de Christoffel. Il découle du lemme de Schur que gil(∂i ρl − ρi ρl) est constant. Substitution de l'identité ci-dessus dans le tenseur de Riemann comme indiqué ci-dessus, il s'ensuit que le domaine du graphique a une courbure de section constante - 1 / n gil(∂i ρl − ρi ρl). Par connexité du collecteur, cette constance locale implique une constance globale.

Le théorème de Beltrami peut être formulé dans le langage des cartes géodésiques: si on lui donne une carte géodésique entre des variétés pseudo-riemanniennes, une variété a une courbure constante si et seulement si l'autre a.

Références ^ Schouten 1954, p. 292. ^ faire Carmo 2016, p. 301; Eisenhart 1926, Section 40; Schouten 1954, Section VI.2; Arbuste 1961, Section 5-3. ^ Beltrami 1868; Weyl 1921, Note de bas de page p. 110.

Sources.

Beltrami, Eugène (1868). "Théorie fondamentale des espaces à courbure constante". Annales de mathématiques pures et appliquées. Série II. 2 (1): 232–255. est ce que je:10.1007/BF02419615. JFM 01.0208.03. faire Carmo, Manfredo P.. (2016). Differential geometry of curves & surfaces (Revised & updated second edition of 1976 original ed.). Mineola, New York: Publications de Douvres, Inc. ISBN 978-0-486-80699-0. M 3837152. Zbl 1352.53002. Eisenhart, Luther Pfahler (1926). Géométrie riemannienne. Réimprimé en 1997. Princeton: Presse de l'Université de Princeton. est ce que je:10.1515/9781400884216. ISBN 0-691-02353-0. JFM 52.0721.01. Schouten, J. UN. (1954). Ricci-calcul. Une introduction à l'analyse tensorielle et ses applications géométriques. Les enseignements fondamentaux des sciences mathématiques. Volume. 10 (Deuxième édition de 1923 original ed.). Berlin–Göttingen–Heidelberg: Springer Verlag. est ce que je:10.1007/978-3-662-12927-2. ISBN 978-3-540-01805-6. M 0066025. Zbl 0057.37803. Arbuste, Dirk J.. (1961). Conférences sur la géométrie différentielle classique. Réimprimé en 1988. (Deuxième édition de 1950 original ed.). Londres: Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-486-65609-8. M 0939369. Zbl 0105.14707. Weyl, H. (1921). "Sur la géométrie infinitésimale: Classification du projectif et de la vue conforme". Nouvelles de la Société des Sciences de Göttingen, Cours de mathématiques et physique: 99–112. JFM 48.0844.04. Weissstein externe gauche, Eric W. "Théorème de Beltrami". MathWorld. Catégories: Théorèmes de géométrie riemannienne