Der Satz von Beltrami

Der Satz von Beltrami Auf dem mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie, irgendein (Pseudo-)Die Riemannsche Metrik bestimmt eine bestimmte Klasse von Pfaden, die als Geodäten bekannt sind. Der Satz von Beltrami, Benannt nach dem italienischen Mathematiker Eugenio Beltrami, ist ein Ergebnis des inversen Problems zur Bestimmung von a (Pseudo-)Riemannsche Metrik aus ihrer Geodäte.

Es ist nicht trivial, das zu sehen, auf jeder Riemannschen Mannigfaltigkeit konstanter Krümmung, es gibt glatte Koordinaten, relativ zu denen alle nicht konstanten Geodäten als gerade Linien erscheinen. Im Fall der negativen Krümmung der hyperbolischen Geometrie, Dies wird durch das Beltrami-Klein-Modell begründet. Im Fall der positiven Krümmung der sphärischen Geometrie, es wird durch die gnomonische Projektion gerechtfertigt. In der Sprache der projektiven Differentialgeometrie, Diese Diagramme zeigen, dass jede Riemannsche Mannigfaltigkeit mit konstanter Krümmung lokal projektiv flach ist. Allgemeiner, jede pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit mit konstanter Krümmung ist lokal projektiv flach.[1] Der Satz von Beltrami behauptet die Umkehrung: jede verbundene pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit, die lokal projektiv flach ist, muss eine konstante Krümmung haben.[2] Unter Verwendung des Tensorkalküls, der Beweis ist einfach. Hermann Weyl beschrieb Beltramis Originalbeweis (erfolgt im zweidimensionalen Riemannschen Fall) als viel komplizierter.[3] Relativ zu einem projektiv flachen Diagramm, es gibt Funktionen ρi, so dass die Christoffel-Symbole die Form annehmen {Anzeigestil Gamma _{ij}^{k}=rho _{ich}Delta _{j}^{k}+rho_{j}Delta _{ich}^{k}.} Direkte Rechnung zeigt dann, dass der Riemannsche Krümmungstensor gegeben ist durch {Anzeigestil R_{ijkl}=(teilweise _{ich}rho_{j}-teilweise _{j}rho_{ich})g_{Kl}+g_{J L}(teilweise _{ich}rho_{k}-rho_{ich}rho_{k})-g_{il}(teilweise _{j}rho_{k}-rho_{j}rho_{k}).} Die Krümmungssymmetrie Rijkl + Rikl = 0 impliziert, dass ∂i ρj = ∂j ρi. Die andere Krümmungssymmetrie Rijkl = Rklij, über i und l verfolgt, sagt das dann {Anzeigestil teilweise _{j}rho_{k}-rho_{j}rho_{k}=g_{jk}{frac {g^{il}(teilweise _{ich}rho_{l}-rho_{ich}rho_{l})}{n}}} wobei n die Dimension der Mannigfaltigkeit ist. Es ist direkt zu verifizieren, dass die linke Seite a ist (lokal definiert) Codazzi-Tensor, nur unter Verwendung der gegebenen Form der Christoffel-Symbole. Aus Schurs Lemma folgt, dass gil(∂i ρl − ρi ρl) ist konstant. Einsetzen der obigen Identität in den Riemann-Tensor wie oben angegeben, Daraus folgt, dass der Diagrammbereich eine konstante Schnittkrümmung − hat 1 / n Gil(∂i ρl − ρi ρl). Durch Verbundenheit der Mannigfaltigkeit, diese lokale Konstanz impliziert globale Konstanz.

Der Satz von Beltrami kann in der Sprache der geodätischen Karten formuliert werden: wenn eine geodätische Karte zwischen pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten gegeben ist, Eine Mannigfaltigkeit hat genau dann eine konstante Krümmung, wenn die andere dies tut.

Referenzen ^ Schouten 1954, p. 292. ^ Mach Carmo 2016, p. 301; Eisenhart 1926, Abschnitt 40; Schouten 1954, Abschnitt VI.2; Strauch 1961, Abschnitt 5-3. ^ Beltrami 1868; Weyl 1921, Fußnote auf S. 110.

Quellen.

Beltrami, Eugenio (1868). "Grundlegende Theorie der Räume konstanter Krümmung". Annalen der reinen und angewandten Mathematik. Reihe II. 2 (1): 232–255. doi:10.1007/BF02419615. JFM 01.0208.03. Mach Carmo, Manfred P. (2016). Differential geometry of curves & surfaces (Revised & updated second edition of 1976 original ed.). Mineola, NY: Dover-Veröffentlichungen, Inc. ISBN 978-0-486-80699-0. HERR 3837152. Zbl 1352.53002. Eisenhart, Luther Pfahler (1926). Riemannsche Geometrie. Nachgedruckt in 1997. Princeton: Princeton University Press. doi:10.1515/9781400884216. ISBN 0-691-02353-0. JFM 52.0721.01. Schouten, J. EIN. (1954). Ricci-Kalkül. Eine Einführung in die Tensoranalyse und ihre geometrischen Anwendungen. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 10 (Zweite Ausgabe von 1923 original ed.). Berlin–Göttingen–Heidelberg: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-12927-2. ISBN 978-3-540-01805-6. HERR 0066025. Zbl 0057.37803. Strauch, Dirk J. (1961). Vorlesungen über klassische Differentialgeometrie. Nachgedruckt in 1988. (Zweite Ausgabe von 1950 original ed.). London: Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-486-65609-8. HERR 0939369. Zbl 0105.14707. Weyl, H. (1921). "Zur Infinitesimalgeometrie: Einordnung der projektiven und der konformen Auffassung". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse: 99–112. JFM 48.0844.04. External links Weisstein, Erich W. "Der Satz von Beltrami". MathWorld. Kategorien: Sätze in der Riemannschen Geometrie