Satz von Beauville-Laszlo

Satz von Beauville-Laszlo In der Mathematik, Das Beauville-Laszlo-Theorem ist ein Ergebnis der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie, das dies ermöglicht "Kleber" zwei Garben über einer infinitesimalen Umgebung eines Punktes auf einer algebraischen Kurve. Es wurde von Arnaud Beauville und Yves Laszlo bewiesen (1995).

Der Satz Obwohl es Auswirkungen auf die algebraische Geometrie hat, Der Satz ist ein lokales Ergebnis und wird in seiner primitivsten Form für kommutative Ringe angegeben. Wenn A ein Ring und f ein von Null verschiedenes Element von A ist, dann können wir zwei abgeleitete Ringe bilden: die Lokalisierung bei f, Von, und die Fertigstellung bei Af, EIN; beide sind A-Algebren. Im Folgenden nehmen wir an, dass f ein Nicht-Null-Teiler ist. Geometrisch, A wird als Schema X = Spec A und f als Teiler angesehen (f) auf Spec A; dann ist Af sein Komplement Df = Spec Af, die durch f bestimmte offene Hauptmenge, während  ein ist "unendlich kleine Nachbarschaft" D = Spec  von (f). Der Schnittpunkt von Df und Spec  ist a "punktierte infinitesimale Nachbarschaft" D0 ungefähr (f), gleich Spec  ⊗A Af = Spec Âf.

Nehmen wir nun an, wir hätten ein A-Modul M; geometrisch, M ist eine Garbe auf Spec A, und wir können sie sowohl auf die offene Hauptmenge Df als auch auf die infinitesimale Nachbarschaft Spec  beschränken, was einen Af-Modul F und einen Â-Modul G ergibt. Algebraisch, {Anzeigestil F=Motimes _{EIN}EIN_{f}=M_{f}qquad G=Motimes _{EIN}{Hut {EIN}}.} (Trotz notationeller Versuchung zu schreiben {Anzeigestil G={Breithut {M}}} , bedeutet die Absolvierung des A-Moduls M beim idealen Af, es sei denn, A ist noethersch und M ist endlich erzeugt, die beiden sind in der Tat nicht gleich. Dieses Phänomen ist der Hauptgrund dafür, dass der Satz die Namen von Beauville und Laszlo trägt; im Noetherianischen, endlich erzeugter Fall, es ist, wie von den Autoren angemerkt, ein Sonderfall von Grothendiecks getreu flachem Abstieg.) F und G können beide weiter auf die punktierte Nachbarschaft D0 beschränkt werden, und da beide Restriktionen letztlich von M abgeleitet sind, sie sind isomorph: wir haben einen Isomorphismus {Anzeigestil Phi Doppelpunkt G_{f}{xRechtspfeil {sim }}Fotimes _{EIN_{f}}{Hut {EIN}}_{f}=Fotimes _{EIN}{Hut {EIN}}.} Betrachten Sie nun die umgekehrte Situation: Wir haben einen Ring A und ein Element f, und zwei Module: ein Af-Modul F und ein Â-Modul G, zusammen mit einem Isomorphismus φ wie oben. Geometrisch, Wir erhalten ein Schema X und sowohl eine offene Menge Df als auch a "klein" Umgebung D seines abgeschlossenen Komplements (f); auf Df und D sind zwei Garben gegeben, die im Schnittpunkt D0 = Df ∩ D übereinstimmen. Wenn D eine offene Menge in der Zariski-Topologie wäre, könnten wir die Garben kleben; der Inhalt des Beauville-Laszlo-Theorems ist das, unter einer technischen Annahme auf f, das gleiche gilt auch für die infinitesimale Umgebung D.

Satz: Angenommen, f, F, G, und φ wie oben, wenn G keine f-Torsion hat, dann gibt es einen A-Modul M und Isomorphismen {Anzeigestil Alpha-Doppelpunkt M_{f}{xRechtspfeil {sim }}Fqquad Beta-Doppelpunkt Motimes _{EIN}{Hut {EIN}}{xRechtspfeil {sim }}G} im Einklang mit dem Isomorphismus φ: φ ist gleich der Zusammensetzung {Anzeigestil G_{f}=Gotimes _{EIN}EIN_{f}{xRechtspfeil {Beta ^{-1}omal 1}}Motimes _{EIN}{Hut {EIN}}omal _{EIN}EIN_{f}=M_{f}omal _{EIN}{Hut {EIN}}{xRechtspfeil {Alpha-Zeiten 1}}Fotimes _{EIN}{Hut {EIN}}.} Die technische Bedingung, dass G keine f-Torsion hat, wird von den Autoren als bezeichnet "f-Regelmäßigkeit". In der Tat, man kann eine stärkere Version dieses Theorems angeben. Lass M(EIN) die Kategorie der A-Module sein (deren Morphismen A-Modul-Homomorphismen sind) und lass Mf(EIN) die vollständige Unterkategorie der f-regulären Module sein. In dieser Notation, wir erhalten ein kommutatives Kategoriendiagramm (mf anmerkung(Von) = M(Von)): {Anzeigestil {Start{Reihe}{ccc}mathbf {M} _{f}(EIN)&longrightarrow &mathbf {M} _{f}({Hut {EIN}})\downarrow &&downarrow \mathbf {M} (EIN_{f})&longrightarrow &mathbf {M} ({Hut {EIN}}_{f})Ende{Reihe}}} wobei die Pfeile die Basisänderungskarten sind; zum Beispiel, der obere horizontale Pfeil wirkt auf Objekte durch M → M ⊗A Â.

Satz: Das obige Diagramm ist ein kartesisches Diagramm von Kategorien.

Globale Version In geometrischer Sprache, Das Beauville-Laszlo-Theorem erlaubt es, Garben auf einem eindimensionalen affinen Schema über einer infinitesimalen Umgebung eines Punktes zu kleben. Da Garben a "lokaler Charakter" und da jedes Schema lokal affin ist, der Satz lässt eine globale Aussage der gleichen Art zu. Die Version dieser Aussage, die die Autoren bemerkenswert fanden, betrifft Vektorbündel: Satz: Sei X eine algebraische Kurve über einem Körper k, x ein k-rationaler glatter Punkt auf X mit infinitesimaler Nachbarschaft D = Spec k[[t]], R eine k-Algebra, und r eine positive ganze Zahl. Dann die Kategorie Vectr(XR) von Rang-r-Vektorbündeln auf der Kurve XR = X ×Spec k Spec R passt in ein kartesisches Diagramm: {Anzeigestil {Start{Reihe}{ccc}mathbf {Die Bar} _{r}(X_{R})&longrightarrow &mathbf {Die Bar} _{r}(D_{R})\downarrow &&downarrow \mathbf {Die Bar} _{r}((Xsetminus x)_{R})&longrightarrow &mathbf {Die Bar} _{r}(D_{R}^{0})Ende{Reihe}}} Dies bringt eine im Papier genannte Folgerung mit sich: Logische Folge: Mit der gleichen Einstellung, bezeichne Triv(XR) die Menge der Tripel (E, t, p), wobei E ein Vektorbündel auf XR ist, τ ist eine Trivialisierung von E over (Xx)R (d.h., ein Isomorphismus mit dem trivialen Bündel O(X - x)R), und σ eine Trivialisierung über DR. Dann liefern die Karten im obigen Diagramm eine Bijektion zwischen Triv(XR) und GLr(R((t))) (wo r((t)) ist der formelle Ring der Laurent-Serie).

Die Folgerung folgt aus dem Satz, indem das Tripel der eindeutigen Matrix which zugeordnet ist, angesehen als ein "Übergangsfunktion" über D0R zwischen den trivialen Bündeln vorbei (Xx)R und älter DR, erlaubt, sie zu kleben, um E zu bilden, wobei die natürlichen Trivialisierungen des geklebten Bündels dann mit σ und τ identifiziert werden. Die Bedeutung dieser Folgerung besteht darin, dass sie zeigt, dass die affine Grassmannsche Funktion entweder aus den Daten von Bündeln über einer infinitesimalen Scheibe gebildet werden kann, oder Bündel auf einer ganzen algebraischen Kurve.

Referenzen Beauville, Arnaud; Laszlo, Yves (1995), "Ein Abstiegslemma" (Pdf), Berichte der Akademie der Wissenschaften, Serie I, 320 (3): 335–340, ISSN 0764-4442, abgerufen 2008-04-08 Kategorien: VektorbündelModultheorieSätze der algebraischen GeometrieSätze der Ringtheorie