Teorema di Bauer-Fike

Teorema di Bauer-Fike Per il teorema nella teoria algebrica dei numeri, vedi il teorema di Bauer.

In matematica, il teorema di Bauer-Fike è un risultato standard nella teoria delle perturbazioni dell'autovalore di una matrice diagonalizzabile a valori complessi. Nella sua sostanza, stabilisce un limite superiore assoluto per la deviazione di un autovalore di matrice perturbata da un autovalore opportunamente scelto della matrice esatta. Informalmente parlando, quello che dice è che la sensibilità degli autovalori è stimata dal numero di condizione della matrice degli autovettori.

Il teorema è stato dimostrato da Friedrich L. Bauer e C. T. Entra 1960.

Contenuti 1 Il set up 2 Il teorema di Bauer-Fike 3 Una formulazione alternativa 4 Un limite relativo 5 Il caso delle matrici normali 6 Riferimenti La configurazione In quanto segue assumiamo che: A ∈ Cn,n è una matrice diagonalizzabile; V ∈ Cn,n è la matrice autovettore non singolare tale che A = VΛV −1, dove Λ è una matrice diagonale. Se X ∈ Cn,n è invertibile, il suo numero di condizione in p-norm è indicato con κp(X) e definito da: {displaystyle kappa _{p}(X)=|X|_{p}sinistra|X^{-1}Giusto|_{p}.} Il teorema di Bauer-Fike Il teorema di Bauer-Fike. Sia μ un autovalore di A + UN. Allora esiste λ ∈ Λ(UN) tale che: {stile di visualizzazione |lambda-mu |leq kappa_{p}(V)|delta A|_{p}} Prova. Possiamo supporre μ ∉ Λ(UN), altrimenti prendiamo λ = μ e il risultato è banalmente vero poiché κp(V) ≥ 1. Poiché μ è un autovalore di A + UN, abbiamo dett(UN + δA - μI) = 0 e così {stile di visualizzazione {inizio{allineato}0&=det(A+delta A-mu I)\&=det(V^{-1})il(A+delta A-mu I)il(V)\&=det left(V^{-1}(A+delta A-mu I)Va bene)\&=det left(V^{-1}AV+V^{-1}delta AV-V^{-1}mu IVgiusto)\&=det left(Lambda+V^{-1}partecipare AV-mu Iright)\&=det(Lambda -in I)se n'è andato((Lambda -in I)^{-1}V^{-1}partecipare AV+Iright)\fine{allineato}}} Tuttavia la nostra ipotesi, μ ∉ L(UN), implica che: il(Λ − μI) ≠ 0 e quindi possiamo scrivere: {displaystyle det sinistra((Lambda -in I)^{-1}V^{-1}partecipare AV+Iright)=0.} Questo rivela che −1 è un autovalore di {stile di visualizzazione (Lambda -in I)^{-1}V^{-1}partecipare OFF.} Poiché tutte le p-norme sono norme di matrice coerenti, abbiamo |l| ≤ ||UN||p dove λ è un autovalore di A. In questo caso questo ci dà: {stile di visualizzazione 1=|-1|leq a sinistra|(Lambda -in I)^{-1}V^{-1}delta AVgiusto|_{p}leq a sinistra|(Lambda -in I)^{-1}Giusto|_{p}sinistra|V^{-1}Giusto|_{p}|V|_{p}|delta A|_{p}= sinistra|(Lambda -in I)^{-1}Giusto|_{p} kappa_{p}(V)|delta A|_{p}} Ma (Λ − μI)−1 è una matrice diagonale, la cui p-norma è facilmente calcolabile: {stile di visualizzazione a sinistra|sinistra(Lambda -in Iright)^{-1}Giusto|_{p} =massimo _{|{simbolo audace {X}}|_{p}neq 0}{frac {sinistra|sinistra(Lambda -in Iright)^{-1}{simbolo audace {X}}Giusto|_{p}}{|{simbolo audace {X}}|_{p}}}=massimo _{lambda in Lambda (UN)}{frac {1}{|lambda-mu |}} ={frac {1}{min _{lambda in Lambda (UN)}|lambda-mu |}}} donde: {stile di visualizzazione min _{lambda in Lambda (UN)}|lambda-mu |leq kappa_{p}(V)|delta A|_{p}.} Una formulazione alternativa Il teorema può anche essere riformulato per meglio adattarsi ai metodi numerici. Infatti, affrontare problemi reali di autosistemi, si ha spesso una matrice esatta A, ma conosce solo una coppia approssimata autovalore-autovettore, (λa, Va) e deve limitare l'errore. La seguente versione viene in aiuto.

Teorema di Bauer-Fike (Formulazione alternativa). Permettere (λa, Va) essere una coppia approssimata autovalore-autovettore, e r = Ava − λava. Allora esiste λ ∈ Λ(UN) tale che: {stile di visualizzazione a sinistra|lambda -lambda ^{un}Giusto|leq kappa_{p}(V){frac {|{simbolo audace {r}}|_{p}}{sinistra|{simbolo audace {v}}^{un}Giusto|_{p}}}} Prova. Possiamo supporre λa ∉ Λ(UN), altrimenti prendiamo λ = λa e il risultato è banalmente vero poiché κp(V) ≥ 1. Così (A − λaI)−1 esiste, così possiamo scrivere: {stile di visualizzazione {simbolo audace {v}}^{un}= sinistra(A-lambda ^{un}Va bene)^{-1}{simbolo audace {r}}= Ne vale la pena(D-lambda ^{un}Va bene)^{-1}V^{-1}{simbolo audace {r}}} poiché A è diagonalizzabile; prendendo la p-norma di entrambi i membri, otteniamo: {stile di visualizzazione a sinistra|{simbolo audace {v}}^{un}Giusto|_{p}= sinistra|Validità(D-lambda ^{un}Va bene)^{-1}V^{-1}{simbolo audace {r}}Giusto|_{p}leq |V|_{p}sinistra|sinistra(D-lambda ^{un}Va bene)^{-1}Giusto|_{p}sinistra|V^{-1}Giusto|_{p}|{simbolo audace {r}}|_{p}=kappa_{p}(V)sinistra|sinistra(D-lambda ^{un}Va bene)^{-1}Giusto|_{p}|{simbolo audace {r}}|_{p}.} Tuttavia {stile di visualizzazione a sinistra(D-lambda ^{un}Va bene)^{-1}} è una matrice diagonale e la sua p-norma è facilmente calcolabile: {stile di visualizzazione a sinistra|sinistra(D-lambda ^{un}Va bene)^{-1}Giusto|_{p}=massimo _{|{simbolo audace {X}}|_{p}neq 0}{frac {sinistra|sinistra(D-lambda ^{un}Va bene)^{-1}{simbolo audace {X}}Giusto|_{p}}{|{simbolo audace {X}}|_{p}}}=massimo _{lambda in sigma (UN)}{frac {1}{sinistra|lambda -lambda ^{un}Giusto|}}={frac {1}{min _{lambda in sigma (UN)}sinistra|lambda -lambda ^{un}Giusto|}}} donde: {stile di visualizzazione min _{lambda in lambda (UN)}sinistra|lambda -lambda ^{un}Giusto|leq kappa_{p}(V){frac {|{simbolo audace {r}}|_{p}}{sinistra|{simbolo audace {v}}^{un}Giusto|_{p}}}.} Un limite relativo Entrambe le formulazioni del teorema di Bauer-Fike danno un limite assoluto. Il seguente corollario è utile ogni volta che è necessario un limite relativo: Corollario. Supponiamo che A sia invertibile e che μ sia un autovalore di A + UN. Allora esiste λ ∈ Λ(UN) tale che: {stile di visualizzazione {frac {|lambda-mu |}{|lambda |}}leq kappa_{p}(V)sinistra|A^{-1}delta Va bene|_{p}} Nota. ||A−1δA|| può essere visto formalmente come la variazione relativa di A, proprio come |l - m| / |l| è la variazione relativa di λ.

Prova. Poiché μ è un autovalore di A + δA e det(UN) ≠ 0, moltiplicando per −A−1 da sinistra abbiamo: {stile di visualizzazione -A^{-1}(A+delta A){simbolo audace {v}}=-la nostra A^{-1}{simbolo audace {v}}.} Se impostiamo: {stile di visualizzazione A^{un}= noi A^{-1},qquad (delta A)^{un}=-A^{-1}delta A} Poi abbiamo: {stile di visualizzazione a sinistra(A^{un}+(delta A)^{un}-Va bene){simbolo audace {v}}={simbolo audace {0}}} che significa che 1 è un autovalore di Aa + (UN)un, con v come autovettore. Adesso, gli autovalori di Aa sono μ / io , mentre ha la stessa matrice autovettoriale di A. Applicando il teorema di Bauer-Fike ad Aa + (UN)a con autovalore 1, ci da: {stile di visualizzazione min _{lambda in Lambda (UN)}sinistra|{frac {in }{lambda }}-1Giusto|=min_{lambda in Lambda (UN)}{frac {|lambda-mu |}{|lambda |}}leq kappa_{p}(V)sinistra|A^{-1}delta Va bene|_{p}} Il caso delle matrici normali Se A è normale, V è una matrice unitaria, dunque: {stile di visualizzazione |V|_{2}= sinistra|V^{-1}Giusto|_{2}=1,} quindi k2(V) = 1. Il teorema di Bauer-Fike diventa allora: {displaystyle esiste lambda in Lambda (UN):quad |lambda-mu |leq |delta A|_{2}} O in formulazione alternativa: {displaystyle esiste lambda in Lambda (UN):quadrilatero a sinistra|lambda -lambda ^{un}Giusto|leq {frac {|{simbolo audace {r}}|_{2}}{sinistra|{simbolo audace {v}}^{un}Giusto|_{2}}}} il che ovviamente rimane vero se A è una matrice Hermitiana. In questo caso, però, vale un risultato molto più forte, noto come teorema di Weyl sugli autovalori. Nel caso hermitiano si può anche riformulare il teorema di Bauer-Fike nella forma che la mappa A ↦ Λ(UN) che associa una matrice al suo spettro è una funzione non espansiva rispetto alla distanza di Hausdorff sull'insieme dei sottoinsiemi compatti di C.

Riferimenti Bauer, F. l.; Fike, C. T. (1960). "Norme e teoremi di esclusione". Numero. Matematica. 2 (1): 137–141. doi:10.1007/BF01386217. S2CID 121278235. statistica di ferro, S. C.; Ipsen, io. C. F. (1998). "Tre limiti di perturbazione assoluti per autovalori di matrice implicano limiti relativi". Giornale SIAM sull'analisi e le applicazioni della matrice. 20 (1): 149–158. CiteSeerX 10.1.1.45.3999. doi:10.1137/S0895479897323282. nascondi vte Analisi funzionale (argomenti – glossario) Spazi BanachBesovFréchetHilbertHölderNucleareOrliczSchwartzSobolevVettore topologico Proprietà barrelledcompletatodual (algebrico/topologico)localmente convessoriflessivoseparabile TeoremiHahn–BanachRieszrappresentazionegrafo chiusoprincipio di limitatezza uniformeKakutani punto fissoKrein–Milmanmin–maxGelfand–NaimarkBanach–Alaoglu Operatori adjointboundedcompactHilbert–Schmidtnormalnucleartrace classtransposeunboundedunitary Algebres Algebra di BanachC*-algebraspettro di un'algebra C*problemi di un operatore algebra localmente compatto di un'algebra di Neumanngruppo compatto di un'algebra di Neumann Problema del sottospazio Congettura di Mahler Applicazioni Spazio di Hardy Teoria spettrale delle equazioni differenziali ordinarie Heat Kernel Teorema dell'indice Calcolo delle variazioni Calcolo funzionale Operatore integrale Polinomio di Jones Teoria dei campi quantistici topologici Geometria non commutativa Ipotesi di Riemann Distribuzione (o funzioni generalizzate) Argomenti avanzati proprietà di approssimazione insieme bilanciato Teoria di Choquet topologia debole Distanza di Banach–Mazur Teoria di Tomita–Takesaki Categorie: Teoria spettraleTeoremi in analisi