Basu's theorem

Basu's theorem In statistics, Basu's theorem states that any boundedly complete minimal sufficient statistic is independent of any ancillary statistic. Isto é um 1955 result of Debabrata Basu.[1] It is often used in statistics as a tool to prove independence of two statistics, by first demonstrating one is complete sufficient and the other is ancillary, then appealing to the theorem.[2] An example of this is to show that the sample mean and sample variance of a normal distribution are independent statistics, which is done in the Example section below. This property (independence of sample mean and sample variance) characterizes normal distributions.

Conteúdo 1 Declaração 1.1 Prova 2 Exemplo 2.1 Independence of sample mean and sample variance of a normal distribution 3 Notas 4 References Statement Let {estilo de exibição (P_{teta };theta in Theta )} be a family of distributions on a measurable space {estilo de exibição (X,{matemática {UMA}})} e {estilo de exibição T,UMA} measurable maps from {estilo de exibição (X,{matemática {UMA}})} to some measurable space {estilo de exibição (S,{matemática {B}})} . (Such maps are called a statistic.) Se {estilo de exibição T} is a boundedly complete sufficient statistic for {estilo de exibição teta } , e {estilo de exibição A} is ancillary to {estilo de exibição teta } , then conditional on {estilo de exibição teta } , {estilo de exibição T} is independent of {estilo de exibição A} . Aquilo é, {displaystyle Tperp A|teta } .

Proof Let {estilo de exibição P_{teta }^{T}} e {estilo de exibição P_{teta }^{UMA}} be the marginal distributions of {estilo de exibição T} e {estilo de exibição A} respectivamente.

Denote by {estilo de exibição A^{-1}(B)} the preimage of a set {estilo de exibição B} under the map {estilo de exibição A} . For any measurable set {displaystyle Bin {matemática {B}}} temos {estilo de exibição P_{teta }^{UMA}(B)=P_{teta }(A^{-1}(B))=int_{S}P_{teta }(A^{-1}(B)mid T=t) P_{teta }^{T}(dt).} A distribuição {estilo de exibição P_{teta }^{UMA}} não depende de {estilo de exibição teta } Porque {estilo de exibição A} is ancillary. Da mesma maneira, {estilo de exibição P_{teta }(cdot mid T=t)} não depende de {estilo de exibição teta } Porque {estilo de exibição T} is sufficient. Portanto {estilo de exibição int _{S}{grande [}P(A^{-1}(B)mid T=t)-P^{UMA}(B){grande ]} P_{teta }^{T}(dt)=0.} Note the integrand (the function inside the integral) is a function of {estilo de exibição t} and not {estilo de exibição teta } . Portanto, desde {estilo de exibição T} is boundedly complete the function {estilo de exibição g(t)=P(A^{-1}(B)mid T=t)-P^{UMA}(B)} is zero for {estilo de exibição P_{teta }^{T}} almost all values of {estilo de exibição t} e assim {estilo de exibição P(A^{-1}(B)mid T=t)=P^{UMA}(B)} for almost all {estilo de exibição t} . Portanto, {estilo de exibição A} is independent of {estilo de exibição T} .

Example Independence of sample mean and sample variance of a normal distribution Let X1, X2, ..., Xn be independent, identically distributed normal random variables with mean μ and variance σ2.

Then with respect to the parameter μ, one can show that {estilo de exibição {chapéu largo {dentro }}={fratura {sum X_{eu}}{n}},} the sample mean, is a complete and sufficient statistic – it is all the information one can derive to estimate μ, and no more – and {estilo de exibição {chapéu largo {sigma }}^{2}={fratura {sum left(X_{eu}-{bar {X}}certo)^{2}}{n-1}},} the sample variance, is an ancillary statistic – its distribution does not depend on μ.

Portanto, from Basu's theorem it follows that these statistics are independent conditional on {mostre o estilo dele } , conditional on {displaystyle sigma ^{2}} .

This independence result can also be proven by Cochran's theorem.

Mais longe, this property (that the sample mean and sample variance of the normal distribution are independent) characterizes the normal distribution – no other distribution has this property.[3] Notes ^ Basu (1955) ^ Ghosh, Malay; Mukhopadhyay, Nitis; Sen, Pranab Kumar (2011), Sequential Estimation, Wiley Series in Probability and Statistics, volume. 904, John Wiley & Sons, p. 80, ISBN 9781118165911, The following theorem, due to Basu ... helps us in proving independence between certain types of statistics, without actually deriving the joint and marginal distributions of the statistics involved. This is a very powerful tool and it is often used ... ^ Geary, R.C. (1936). "The Distribution of "Student's" Ratio for Non-Normal Samples". Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society. 3 (2): 178-184. doi:10.2307/2983669. JFM 63.1090.03. JSTOR 2983669. Este artigo inclui uma lista de referências gerais, mas faltam citações em linha correspondentes suficientes. Ajude a melhorar este artigo introduzindo citações mais precisas. (dezembro 2009) (Saiba como e quando remover esta mensagem de modelo) References Basu, D. (1955). "On Statistics Independent of a Complete Sufficient Statistic". Sankhyā. 15 (4): 377-380. JSTOR 25048259. SENHOR 0074745. Zbl 0068.13401. Mukhopadhyay, Nitis (2000). Probability and Statistical Inference. Statistics: A Series of Textbooks and Monographs. 162. Florida: CRC Press USA. ISBN 0-8247-0379-0. Vaias, Dennis D.; Oliver, Jacqueline M. Hughes (Aug 1998). "Applications of Basu's Theorem". The American Statistician. 52 (3): 218–221. doi:10.2307/2685927. JSTOR 2685927. SENHOR 1650407. Ghosh, Malay (Outubro 2002). "Basu's Theorem with Applications: A Personalistic Review". Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Série A. 64 (3): 509–531. JSTOR 25051412. SENHOR 1985397. show vte Statistics Categories: Theorems in statisticsIndependence (teoria da probabilidade)