Teorema di Banach-Alaoglu
Teorema di Banach-Alaoglu In analisi funzionale e rami correlati della matematica, il teorema di Banach-Alaoglu (noto anche come teorema di Alaoglu) afferma che la palla unitaria chiusa dello spazio duale di uno spazio vettoriale normato è compatta nella topologia debole*.[1] Una dimostrazione comune identifica la sfera unitaria con la topologia weak-* come un sottoinsieme chiuso di un prodotto di insiemi compatti con la topologia del prodotto. Come conseguenza del teorema di Tychonoff, questo prodotto, e quindi la palla unitaria all'interno, è compatto.
Questo teorema ha applicazioni in fisica quando si descrive l'insieme degli stati di un'algebra di osservabili, vale a dire che qualsiasi stato può essere scritto come una combinazione lineare convessa dei cosiddetti stati puri.
Contenuti 1 Storia 2 Dichiarazione 2.1 Dimostrazione che coinvolge la teoria della dualità 2.2 Prova elementare 3 Teorema sequenziale di Banach-Alaoglu 4 Conseguenze 4.1 Conseguenze per gli spazi normati 4.2 Conseguenze per gli spazi di Hilbert 5 Relazione con l'assioma della scelta e altre affermazioni 6 Guarda anche 7 Appunti 8 Citazioni 9 Riferimenti 10 Ulteriori letture Storia Secondo Lawrence Narici e Edward Beckenstein, il teorema di Alaoglu è a "risultato molto importante - forse il fatto più importante sulla topologia weak-* - [Quello] echi durante l'analisi funzionale."[2] In 1912, Helly ha dimostrato che la sfera unitaria dello spazio duale continuo di {stile di visualizzazione C([un,b])} è numerabile debole-* compatto.[3] In 1932, Stefan Banach ha dimostrato che la palla unitaria chiusa nello spazio duale continuo di qualsiasi spazio normato separabile è sequenzialmente debole-* compatto (Banach considerava solo la compattezza sequenziale).[3] La dimostrazione per il caso generale è stata pubblicata in 1940 dal matematico Leonidas Alaoglu. Secondo Pietsch [2007], ci sono almeno 12 matematici che possono rivendicare questo teorema o un suo importante predecessore.[2] Il teorema di Bourbaki-Alaoglu è una generalizzazione[4][5] del teorema originario di Bourbaki alle topologie duali su spazi localmente convessi. Questo teorema è anche chiamato teorema di Banach-Alaoglu o teorema di compattezza debole-* ed è comunemente chiamato semplicemente teorema di Alaoglu[2] Dichiarazione Vedi anche: Spazio vettoriale topologico § Spazio duale, Doppio sistema, e insieme polare If {stile di visualizzazione X} è uno spazio vettoriale sul campo {displaystyle mathbb {K} } poi {stile di visualizzazione X^{#}} indicherà lo spazio duale algebrico di {stile di visualizzazione X} e questi due spazi sono d'ora in poi associati alla mappa di valutazione bilineare {displaystyle angolo sinistro cdot ,cdot angolo destro :X volte X^{#}a matematicabb {K} } definito da {displaystyle angolo sinistro x,spavento ~{pila {scriptscriptstyle {testo{def}}}{=}}~f(X)} dove il triplo {displaystyle angolo sinistro X,X^{#}angolo retto } forma un sistema duale chiamato sistema duale canonico.
Se {stile di visualizzazione X} è uno spazio vettoriale topologico (TV) allora il suo spazio duale continuo sarà indicato con {stile di visualizzazione X^{primo },} dove {stile di visualizzazione X^{primo }subsetq X^{#}} tiene sempre. Indica la topologia weak-* attiva {stile di visualizzazione X^{#}} di {displaystyle sigma a sinistra(X^{#},Esatto)} e denotano la topologia weak-* su {stile di visualizzazione X^{primo }} di {displaystyle sigma a sinistra(X^{primo },Esatto).} La topologia weak-* è detta anche topologia della convergenza puntuale perché data una mappa {stile di visualizzazione f} e una rete di mappe {stile di visualizzazione f_{proiettile }= sinistra(f_{io}Giusto)_{iin I},} la rete {stile di visualizzazione f_{proiettile }} converge a {stile di visualizzazione f} in questa topologia se e solo se per ogni punto {stile di visualizzazione x} nel dominio, la rete dei valori {stile di visualizzazione a sinistra(f_{io}(X)Giusto)_{iin I}} converge al valore {stile di visualizzazione f(X).} Teorema di Alaoglu[3] — Per qualsiasi spazio vettoriale topologico (TV) {stile di visualizzazione X} (non necessariamente Hausdorff o localmente convesso) con spazio duale continuo {stile di visualizzazione X^{primo },} il polare {stile di visualizzazione U^{circ }= sinistra{pinna X^{primo }~:~sup _{uin U}|f(tu)|leq 1a destra}} di qualsiasi quartiere {stile di visualizzazione U} di origine in {stile di visualizzazione X} è compatto nella topologia weak-*[Nota 1] {displaystyle sigma a sinistra(X^{primo },Esatto)} Su {stile di visualizzazione X^{primo }.} Inoltre, {stile di visualizzazione U^{circ }} è uguale alla polare di {stile di visualizzazione U} rispetto al sistema canonico {displaystyle angolo sinistro X,X^{#}angolo retto } ed è anche un sottoinsieme compatto di {stile di visualizzazione a sinistra(X^{#},sigma a sinistra(X^{#},Esatto)Giusto).} Dimostrazione che coinvolge la teoria della dualità Dimostrazione Denotata dal campo sottostante di {stile di visualizzazione X} di {displaystyle mathbb {K} ,} che sono i numeri reali {displaystyle mathbb {R} } o numeri complessi {displaystyle mathbb {C} .} Questa dimostrazione utilizzerà alcune delle proprietà di base elencate negli articoli: insieme polare, sistema duale, e operatore lineare continuo.
Per iniziare la dimostrazione, si richiamano alcune definizioni e risultati prontamente verificati. quando {stile di visualizzazione X^{#}} è dotato della topologia weak-* {displaystyle sigma a sinistra(X^{#},Esatto),} allora questo spazio vettoriale topologico localmente convesso di Hausdorff è indicato con {stile di visualizzazione a sinistra(X^{#},sigma a sinistra(X^{#},Esatto)Giusto).} Lo spazio {stile di visualizzazione a sinistra(X^{#},sigma a sinistra(X^{#},Esatto)Giusto)} è sempre un TVS completo; però, {stile di visualizzazione a sinistra(X^{primo },sigma a sinistra(X^{primo },Esatto)Giusto)} potrebbe non essere uno spazio completo, che è il motivo per cui questa dimostrazione coinvolge lo spazio {stile di visualizzazione a sinistra(X^{#},sigma a sinistra(X^{#},Esatto)Giusto).} In particolare, questa dimostrazione utilizzerà il fatto che un sottoinsieme di uno spazio di Hausdorff completo è compatto se (e solo se) è chiuso e totalmente limitato. Importante, la topologia del sottospazio che {stile di visualizzazione X^{primo }} eredita da {stile di visualizzazione a sinistra(X^{#},sigma a sinistra(X^{#},Esatto)Giusto)} è uguale a {displaystyle sigma a sinistra(X^{primo },Esatto).} Questo può essere facilmente verificato mostrando che dato any {stile di visualizzazione pinna X^{primo },} una rete dentro {stile di visualizzazione X^{primo }} converge a {stile di visualizzazione f} in una di queste topologie se e solo se converge anche a {stile di visualizzazione f} nell'altra topologia (la conclusione segue perché due topologie sono uguali se e solo se hanno esattamente le stesse reti convergenti).
Il triplo {displaystyle angolo sinistro X,X^{primo }angolo retto } è un doppio accoppiamento anche se diverso {displaystyle angolo sinistro X,X^{#}angolo retto ,} in generale non è garantito che sia un sistema duale. Per tutto, salvo diversa indicazione, tutti gli insiemi polari saranno presi rispetto all'accoppiamento canonico {displaystyle angolo sinistro X,X^{primo }angolo retto .} Permettere {stile di visualizzazione U} essere un quartiere dell'origine in {stile di visualizzazione X} e lascia: {stile di visualizzazione U^{circ }= sinistra{pinna X^{primo }~:~sup _{uin U}|f(tu)|leq 1a destra}} essere la polare di {stile di visualizzazione U} rispetto alla coppia canonica {displaystyle angolo sinistro X,X^{primo }angolo retto } ; {stile di visualizzazione U^{circo circo }= sinistra{xinX~:~sup _{pinna U^{circ }}|f(X)|leq 1a destra}} essere il bipolare di {stile di visualizzazione U} riguardo a {displaystyle angolo sinistro X,X^{primo }angolo retto } ; {stile di visualizzazione U^{#}= sinistra{pinna X^{#}~:~sup _{uin U}|f(tu)|leq 1a destra}} essere la polare di {stile di visualizzazione U} rispetto al sistema duale canonico {displaystyle angolo sinistro X,X^{#}angolo retto .} Notare che {stile di visualizzazione U^{circ }=U^{#}tappo X^{primo }.} Un fatto ben noto sui set polari è questo {stile di visualizzazione U^{circ circ circ }subseteq U^{circ }.} Mostralo {stile di visualizzazione U^{#}} è un {displaystyle sigma a sinistra(X^{#},Esatto)} -sottoinsieme chiuso di {stile di visualizzazione X^{#}:} Permettere {stile di visualizzazione pinna X^{#}} e supponiamo che {stile di visualizzazione f_{proiettile }= sinistra(f_{io}Giusto)_{iin I}} è una rete dentro {stile di visualizzazione U^{#}} che converge a {stile di visualizzazione f} in {stile di visualizzazione a sinistra(X^{#},sigma a sinistra(X^{#},Esatto)Giusto).} Per concludere {displaystyle pinna U^{#},} è sufficiente (e necessario) per dimostrarlo {stile di visualizzazione |f(tu)|leq 1} per ogni {displaystyle uin U.} Perché {stile di visualizzazione f_{io}(tu)a F(tu)} nel campo scalare {displaystyle mathbb {K} } e ogni valore {stile di visualizzazione f_{io}(tu)} appartiene ai chiusi (in {displaystyle mathbb {K} } ) sottoinsieme {stile di visualizzazione a sinistra{peccato mathbb {K} :|S|leq 1a destra},} così deve anche il limite di questa rete {stile di visualizzazione f(tu)} appartengono a questo insieme. così {stile di visualizzazione |f(tu)|leq 1.} Mostralo {stile di visualizzazione U^{#}=U^{circ }} e poi concluderlo {stile di visualizzazione U^{circ }} è un sottoinsieme chiuso di entrambi {stile di visualizzazione a sinistra(X^{#},sigma a sinistra(X^{#},Esatto)Giusto)} e {stile di visualizzazione a sinistra(X^{primo },sigma a sinistra(X^{primo },Esatto)Giusto):} L'inclusione {stile di visualizzazione U^{circ }subseteq U^{#}} vale perché ogni funzionale lineare continuo è (in particolare) un funzionale lineare. Per l'inclusione inversa {stile di visualizzazione ,U^{#}subseteq U^{circ },,} permettere {displaystyle pinna U^{#}} affinché {stile di visualizzazione ;sup _{uin U}|f(tu)|leq 1,,} che afferma esattamente che il funzionale lineare {stile di visualizzazione f} è delimitato dal quartiere {stile di visualizzazione U} ; così {stile di visualizzazione f} è un funzionale lineare continuo (questo è, {stile di visualizzazione pinna X^{primo }} ) e così {displaystyle pinna U^{circ },} come desiderato. Usando (1) e il fatto che l'intersezione {stile di visualizzazione U^{#}tappo X^{primo }=U^{circ }tappo X^{primo }=U^{circ }} è chiuso nella topologia del sottospazio {stile di visualizzazione X^{primo },} l'affermazione circa {stile di visualizzazione U^{circ }} segue la chiusura. Mostralo {stile di visualizzazione U^{circ }} è un {displaystyle sigma a sinistra(X^{primo },Esatto)} -sottoinsieme totalmente limitato di {stile di visualizzazione X^{primo }:} Per il teorema bipolare, {displaystyle Usubseteq U^{circo circo }} dove perché il quartiere {stile di visualizzazione U} è un sottoinsieme assorbente di {stile di visualizzazione X,} lo stesso deve valere per l'insieme {stile di visualizzazione U^{circo circo };} è possibile dimostrare che questo implica quello {stile di visualizzazione U^{circ }} è un {displaystyle sigma a sinistra(X^{primo },Esatto)} -sottoinsieme limitato di {stile di visualizzazione X^{primo }.} Perché {stile di visualizzazione X} distingue i punti di {stile di visualizzazione X^{primo },} un sottoinsieme di {stile di visualizzazione X^{primo }} è {displaystyle sigma a sinistra(X^{primo },Esatto)} -limitato se e solo se lo è {displaystyle sigma a sinistra(X^{primo },Esatto)} -totalmente delimitato. Quindi in particolare, {stile di visualizzazione U^{circ }} è anche {displaystyle sigma a sinistra(X^{primo },Esatto)} -totalmente delimitato. Concludilo {stile di visualizzazione U^{circ }} è anche un {displaystyle sigma a sinistra(X^{#},Esatto)} -sottoinsieme totalmente limitato di {stile di visualizzazione X^{#}:} Ricordiamo che il {displaystyle sigma a sinistra(X^{primo },Esatto)} topologia attiva {stile di visualizzazione X^{primo }} è identico alla topologia del sottospazio che {stile di visualizzazione X^{primo }} eredita da {stile di visualizzazione a sinistra(X^{#},sigma a sinistra(X^{#},Esatto)Giusto).} Questo fatto, insieme a (3) e la definizione di "totalmente delimitato", implica che {stile di visualizzazione U^{circ }} è un {displaystyle sigma a sinistra(X^{#},Esatto)} -sottoinsieme totalmente limitato di {stile di visualizzazione X^{#}.} Infine, dedurre che {stile di visualizzazione U^{circ }} è un {displaystyle sigma a sinistra(X^{primo },Esatto)} -sottoinsieme compatto di {stile di visualizzazione X^{primo }:} Perché {stile di visualizzazione a sinistra(X^{#},sigma a sinistra(X^{#},Esatto)Giusto)} è un televisore completo e {stile di visualizzazione U^{circ }} è un chiuso (di (2)) e totalmente delimitato (di (4)) sottoinsieme di {stile di visualizzazione a sinistra(X^{#},sigma a sinistra(X^{#},Esatto)Giusto),} ne consegue che {stile di visualizzazione U^{circ }} è compatto. {stile di visualizzazione quadrato nero } Se {stile di visualizzazione X} è uno spazio vettoriale normato, allora la polare di un intorno è chiusa e limitata da norme nello spazio duale. In particolare, Se {stile di visualizzazione U} è l'aperto (o chiuso) unità palla dentro {stile di visualizzazione X} poi la polare di {stile di visualizzazione U} è la palla unitaria chiusa nello spazio duale continuo {stile di visualizzazione X^{primo }} di {stile di visualizzazione X} (con la solita norma duale). Di conseguenza, questo teorema può essere specializzato a: Teorema di Banach-Alaoglu - Se {stile di visualizzazione X} è uno spazio normato quindi la palla unitaria chiusa nello spazio duale continuo {stile di visualizzazione X^{primo }} (dotato della sua consueta norma di operatore) è compatto rispetto alla topologia weak-*.
Quando lo spazio duale continuo {stile di visualizzazione X^{primo }} di {stile di visualizzazione X} è uno spazio normato dimensionale infinito allora è impossibile per l'unità chiusa entrare {stile di visualizzazione X^{primo }} essere un sottoinsieme compatto quando {stile di visualizzazione X^{primo }} ha la sua consueta topologia a norma. Questo perché la palla unitaria nella topologia della norma è compatta se e solo se lo spazio è di dimensione finita (cfr. F. Teorema di Riesz). Questo teorema è un esempio dell'utilità di avere diverse topologie sullo stesso spazio vettoriale.
Va avvertito che nonostante le apparenze, il teorema di Banach-Alaoglu non implica che la topologia debole-* sia localmente compatta. Questo perché la palla unitaria chiusa è solo un quartiere dell'origine nella topologia forte, ma di solito non è un intorno dell'origine nella topologia weak-*, poiché ha un interno vuoto nella topologia debole*, a meno che lo spazio non sia di dimensione finita. Infatti, è un risultato di Weil che tutti gli spazi vettoriali topologici di Hausdorff localmente compatti devono essere di dimensione finita.
Dimostrazione elementare La seguente dimostrazione coinvolge solo concetti elementari della teoria degli insiemi, topologia, e analisi funzionale. In particolare, ciò che è necessario dalla topologia è una conoscenza operativa delle reti negli spazi topologici e la familiarità con il fatto che un funzionale lineare è continuo se e solo se è limitato su un intorno dell'origine è anche necessario (vedere gli articoli sui funzionali lineari continui e sui funzionali sublineari per i dettagli). Inoltre è richiesta una corretta comprensione dei dettagli tecnici di come lo spazio {displaystyle mathbb {K} ^{X}} di tutte le funzioni della forma {displaystyle Xto mathbb {K} } è identificato come prodotto cartesiano {stile testo prod_{xin X}mathbb {K} ,} e la relazione tra convergenza puntuale, la topologia del prodotto, e topologie subspaziali che inducono su sottoinsiemi come lo spazio duale algebrico {stile di visualizzazione X^{#}} e prodotti di sottospazi come {stile testo prod_{xin X}B_{r_{X}}.} Viene ora fornita una spiegazione di questi dettagli per i lettori interessati.
mostra Premiere sugli spazi prodotto/funzione, reti, e convergenza puntuale L'essenza del teorema di Banach-Alaoglu si trova nella proposizione successiva, da cui segue il teorema di Banach-Alaoglu. A differenza del teorema di Banach-Alaoglu, questa proposizione non richiede lo spazio vettoriale {stile di visualizzazione X} a dotato di qualsiasi topologia.
Proposizione[3] - Permettere {stile di visualizzazione U} essere un sottoinsieme di uno spazio vettoriale {stile di visualizzazione X} sopra il campo {displaystyle mathbb {K} } (dove {displaystyle mathbb {K} = matematica bb {R} {testo{ o }}mathbb {K} = matematica bb {C} } ) e per ogni numero reale {stile di visualizzazione r,} dotare la palla chiusa {stile testo B_{r}~{pila {scriptscriptstyle {testo{def}}}{=}}~{peccato mathbb {K} :|S|leq r}} con la sua solita topologia ( {stile di visualizzazione X} non deve essere dotato di alcuna topologia, ma {displaystyle mathbb {K} } ha la sua solita topologia euclidea). Definire {stile di visualizzazione U^{#}~{pila {scriptscriptstyle {testo{def}}}{=}}~{Grande {}pinna X^{#}~:~sup _{uin U}|f(tu)|leq 1{Grande }}.} Se per ogni {stile di visualizzazione xin X,} {stile di visualizzazione r_{X}>0} è un numero reale tale che {stile di visualizzazione xin r_{X}u,} poi {stile di visualizzazione U^{#}} è un sottospazio chiuso e compatto dello spazio prodotto {stile di visualizzazione prod_{xin X}B_{r_{X}}} (dove perché questa topologia prodotto è identica alla topologia della convergenza puntuale, che è anche chiamata la topologia debole-* nell'analisi funzionale, ciò significa che {stile di visualizzazione U^{#}} è compatto nella topologia weak-* o "debole-* compatto" in breve).
Prima di dimostrare la proposizione di cui sopra, viene prima mostrato come da esso segua il teorema di Banach-Alaoglu (a differenza della proposta, Banach-Alaoglu lo presuppone {stile di visualizzazione X} è uno spazio vettoriale topologico (TV) e quello {stile di visualizzazione U} è un intorno dell'origine).
Dimostrazione che Banach–Alaoglu segue dalla proposizione di cui sopra Assumete che {stile di visualizzazione X} è uno spazio vettoriale topologico con spazio duale continuo {stile di visualizzazione X^{primo }} e quello {stile di visualizzazione U} è un intorno dell'origine. Perché {stile di visualizzazione U} è un quartiere dell'origine in {stile di visualizzazione X,} è anche un sottoinsieme assorbente di {stile di visualizzazione X,} quindi per ogni {stile di visualizzazione xin X,} esiste un numero reale {stile di visualizzazione r_{X}>0} tale che {stile di visualizzazione xin r_{X}U.} Così le ipotesi della proposizione di cui sopra sono soddisfatte, e così il set {stile di visualizzazione U^{#}} è quindi compatto nella topologia weak-*. La dimostrazione del teorema di Banach-Alaoglu sarà completa una volta dimostrato che {stile di visualizzazione U^{#}=U^{circ },} [Nota 2] dove ricordalo {stile di visualizzazione U^{circ }} è stato definito come {stile di visualizzazione U^{circ }~{pila {scriptscriptstyle {testo{def}}}{=}}~{Grande {}pinna X^{primo }~:~sup _{uin U}|f(tu)|leq 1{Grande }}~=~U^{#}tappo X^{primo }.} Provalo {stile di visualizzazione U^{circ }=U^{#}:} Perché {stile di visualizzazione U^{circ }=U^{#}tappo X^{primo },} la conclusione è equivalente a {stile di visualizzazione U^{#}subsetq X^{primo }.} Se {displaystyle pinna U^{#}} poi {stile di visualizzazione ;sup _{uin U}|f(tu)|leq 1,,} che afferma esattamente che il funzionale lineare {stile di visualizzazione f} è delimitato dal quartiere {stile di visualizzazione U;} così {stile di visualizzazione f} è un funzionale lineare continuo (questo è, {stile di visualizzazione pinna X^{primo }} ), come desiderato. {stile di visualizzazione quadrato nero } Proof of Proposition Lo spazio del prodotto {stile testo prod_{xin X}B_{r_{X}}} è compatta per il teorema di Tychonoff (da ogni palla chiusa {stile di visualizzazione B_{r_{X}}~{pila {scriptscriptstyle {testo{def}}}{=}}~{peccato mathbb {K} :|S|leq r_{X}}} è un Hausdorff[Nota 3] spazio compatto). Perché un sottoinsieme chiuso di uno spazio compatto è compatto, la dimostrazione della proposizione sarà completa una volta dimostrato che {stile di visualizzazione U^{#}~{pila {scriptscriptstyle {testo{def}}}{=}}~{Grande {}pinna X^{#}~:~sup _{uin U}|f(tu)|leq 1{Grande }}~=~sinistra{pinna X^{#}~:~f(u)subseteq B_{1}Giusto}} è un sottoinsieme chiuso di {stile testo prod_{xin X}B_{r_{X}}.} Le seguenti affermazioni garantiscono questa conclusione: {stile di visualizzazione U^{#}subseteq prod _{xin X}B_{r_{X}}.} {stile di visualizzazione U^{#}} è un sottoinsieme chiuso dello spazio prodotto {stile di visualizzazione prod_{xin X}mathbb {K} = matematica bb {K} ^{X}.} Prova di (1): Per ogni {stile di visualizzazione zin X,} permettere {stile del testo pr {}_{z}:pungolo _{xin X}mathbb {K} a matematicabb {K} } denotare la proiezione al {stile di visualizzazione con} esima coordinata (come sopra definito). Per dimostrarlo {stile di testo U^{#}subseteq prod _{xin X}B_{r_{X}},} è sufficiente (e necessario) per dimostrarlo {stile di visualizzazione Pr {}_{X}sinistra(U^{#}Giusto)subseteq B_{r_{X}}} per ogni {stile di visualizzazione xin X.} Quindi aggiusta {stile di visualizzazione xin X} e lascia {displaystyle pinna U^{#}.} Perché {stile di visualizzazione Pr {}_{X}(f),=,f(X),} resta da dimostrarlo {stile di visualizzazione f(X)in SI_{r_{X}}.} Richiama questo {stile di visualizzazione r_{X}>0} è stato definito nell'enunciato della proposizione come qualsiasi numero reale positivo che soddisfi {stile di visualizzazione xin r_{X}u} (così per esempio, {stile di visualizzazione r_{tu}:=1} sarebbe una scelta valida per ciascuno {displaystyle uin U} ), il che implica {stile di visualizzazione ,tu_{X}~{pila {scriptscriptstyle {testo{def}}}{=}}~{frac {1}{r_{X}}},per favore U.,} Perché {stile di visualizzazione f} è una funzione omogenea positiva che soddisfa {stile di visualizzazione ;sup _{uin U}|f(tu)|leq 1,,} {stile di visualizzazione {frac {1}{r_{X}}}|f(X)|= sinistra|{frac {1}{r_{X}}}f(X)Giusto|= sinistra|deviato({frac {1}{r_{X}}}xdestra)Giusto|= sinistra|deviato(tu_{X}Giusto)Giusto|leq sup _{uin U}|f(tu)|leq 1.} così {stile di visualizzazione |f(X)|leq r_{X},} che lo dimostra {stile di visualizzazione f(X)in SI_{r_{X}},} come desiderato.
Prova di (2): Lo spazio duale algebrico {stile di visualizzazione X^{#}} è sempre un sottoinsieme chiuso di {stile di testo mathbb {K} ^{X}=prodotto _{xin X}mathbb {K} } (questo è dimostrato nel lemma sottostante per i lettori che non hanno familiarità con questo risultato). Il set {stile di visualizzazione {inizio{allineare}{9}U_{B_{1}}&,{pila {scriptscriptstyle {testo{def}}}{=}},{Grande {}~~;~~;~~;~~f in mathbb {K} ^{X}~~;~~:sup _{uin U}|f(tu)|leq 1{Grande }}\&={grande {}~~;~~;~~;~~ f,in matematica bb {K} ^{X}~~;~~:f(tu)in SI_{1}{testo{ per tutti }}uin U{grande }}\&={Grande {}sinistra(f_{X}Giusto)_{xin X}in prod_{xin X}mathbb {K} ,~:~;~f_{tu}~in SI_{1}{testo{ per tutti }}uin U{Grande }}\&=prod _{xin X}C_{X}quad {testo{ dove }}quad DO_{X}~{pila {scriptscriptstyle {testo{def}}}{=}}~{inizio{casi}B_{1}&{testo{ Se }}xin Umathbb {K} &{testo{ Se }}xnon in Uend{casi}}\fine{allineare}}} è chiuso nella topologia del prodotto {stile di visualizzazione prod_{xin X}mathbb {K} = matematica bb {K} ^{X}} poiché è un prodotto di sottoinsiemi chiusi di {displaystyle mathbb {K} } (una prova alternativa che utilizza le reti per dimostrarlo {stile di visualizzazione U_{B_{1}}= sinistra{fine mathbb {K} ^{X}:f(u)subseteq B_{1}Giusto}} è chiuso è anche indicato di seguito). così {stile di visualizzazione U_{B_{1}}tappo X^{#}=U^{#}} è un'intersezione di due sottoinsiemi chiusi di {displaystyle mathbb {K} ^{X},} il che dimostra (2).[Nota 4] {stile di visualizzazione quadrato nero } Questa conclusione che {stile di visualizzazione U_{B_{1}}} è chiuso può anche essere raggiunto applicando il seguente risultato più generale al caso particolare {stile di visualizzazione Y:= matematica bb {K} } e {stile di visualizzazione B:=B_{1}.} Osservazione: Se {displaystyle Usubseteq X} è qualsiasi insieme e se {displaystyle Bsubseteq Y} è un sottoinsieme chiuso di uno spazio topologico {stile di visualizzazione Y,} poi {stile di visualizzazione U_{B}~{pila {scriptscriptstyle {testo{def}}}{=}}~sinistra{fine Y^{X}:f(u)subseteq Luminoso}} è un sottoinsieme chiuso di {stile di visualizzazione Y^{X}} nella topologia della convergenza puntuale. Prova di osservazione: Permettere {displaystyle fine Y^{X}} e supponiamo che {stile di visualizzazione a sinistra(f_{io}Giusto)_{iin I}} è una rete dentro {stile di visualizzazione U_{B}} che converge puntualmente a {stile di visualizzazione f.} Resta da dimostrarlo {pinna stile display U_{B},} che per definizione significa {stile di visualizzazione f(u)subseteq B.} Per ogni {displaystyle uin U,} perché {stile di visualizzazione a sinistra(f_{io}(tu)Giusto)_{iin I}a F(tu)} in {stile di visualizzazione Y} e ogni valore {stile di visualizzazione f_{io}(tu)in f_{io}(u)subseteq B} appartiene ai chiusi (in {stile di visualizzazione Y} ) sottoinsieme {stile di visualizzazione B,} così anche il limite di questa rete deve appartenere a questo insieme chiuso; così {stile di visualizzazione f(tu)in B,} che completa la dimostrazione. {stile di visualizzazione quadrato nero } Lemma ( {stile di visualizzazione X^{#}} è chiuso dentro {displaystyle mathbb {K} ^{X}} ) — Lo spazio duale algebrico {stile di visualizzazione X^{#}} di qualsiasi spazio vettoriale {stile di visualizzazione X} sopra un campo {displaystyle mathbb {K} } (dove {displaystyle mathbb {K} } è {displaystyle mathbb {R} } o {displaystyle mathbb {C} } ) è un sottoinsieme chiuso di {stile di testo mathbb {K} ^{X}=prodotto _{xin X}mathbb {K} } nella topologia della convergenza puntuale. (Lo spazio vettoriale {stile di visualizzazione X} non deve essere dotato di alcuna topologia).
show Dimostrazione del lemma Il lemma sopra segue in realtà anche dal suo corollario sotto since {stile di visualizzazione prod_{xin X}mathbb {K} } è uno spazio uniforme completo di Hausdorff e qualsiasi sottoinsieme di tale spazio (in particolare {stile di visualizzazione X^{#}} ) è chiuso se e solo se è completo.
Corollario al lemma ( {stile di visualizzazione X^{#}} è debole-* completo) — Quando lo spazio duale algebrico {stile di visualizzazione X^{#}} di uno spazio vettoriale {stile di visualizzazione X} è dotato della topologia {displaystyle sigma a sinistra(X^{#},Esatto)} di convergenza puntuale (nota anche come topologia weak-*) quindi lo spazio topologico risultante {stile di visualizzazione a sinistra(X^{#},sigma a sinistra(X^{#},Esatto)Giusto)} è uno spazio vettoriale topologico localmente convesso di Hausdorff completo.
show Dimostrazione del corollario al lemma La precedente dimostrazione elementare del teorema di Banach-Alaoglu mostra effettivamente che se {displaystyle Usubseteq X} è qualsiasi sottoinsieme che soddisfa {stile di visualizzazione X=(0,infty )U~{pila {scriptscriptstyle {testo{def}}}{=}}~{ru:r>0,uin U}} (come qualsiasi sottoinsieme assorbente di {stile di visualizzazione X} ), poi {stile di visualizzazione U^{#}~{pila {scriptscriptstyle {testo{def}}}{=}}~sinistra{pinna X^{#}:f(u)subseteq B_{1}Giusto}} è un sottoinsieme debole-* compatto di {stile di visualizzazione X^{#}.} Come nota a margine, con l'aiuto della precedente dimostrazione elementare, potrebbe essere mostrato (vedere questa nota a piè di pagina)[prova 1] che esistono {stile di visualizzazione X} -numeri reali indicizzati non negativi {stile di visualizzazione m_{proiettile }= sinistra(m_{X}Giusto)_{xin X}} tale che {stile di visualizzazione {inizio{allineare}{4}U^{circ }&=U^{#}&&\&=X^{#}&&cap prod _{xin X}B_{m_{X}}\&=X^{primo }&&cap prod _{xin X}B_{m_{X}}\fine{allineare}}} dove questi numeri reali {stile di visualizzazione m_{proiettile }} può anche essere scelto per essere "minimo" nel seguente senso: usando {stile di visualizzazione P~{pila {scriptscriptstyle {testo{def}}}{=}}~U^{circ }} (Così {stile di visualizzazione P=U^{#}} come nella dimostrazione) e definendo la notazione {stile di visualizzazione prodotto B_{R_{proiettile }}~{pila {scriptscriptstyle {testo{def}}}{=}}~prod_{xin X}B_{R_{X}}} per ogni {stile di visualizzazione R_{proiettile }= sinistra(R_{X}Giusto)_{xin X}in matematica bb {R} ^{X},} Se {stile di visualizzazione T_{P}~{pila {scriptscriptstyle {testo{def}}}{=}}~sinistra{R_{proiettile }in matematica bb {R} ^{X}~:~Psubseteq prod B_{R_{proiettile }}Giusto}} poi {stile di visualizzazione m_{proiettile }in T_{P}} e per ogni {stile di visualizzazione xin X,} {stile di visualizzazione m_{X}=inf a sinistra{R_{X}:R_{proiettile }in T_{P}Giusto},} che mostra che questi numeri {stile di visualizzazione m_{proiettile }} sono unici; infatti, questa formula minima può essere usata per definirli.
Infatti, Se {stile di visualizzazione {matematico {B}}_{P}} denota l'insieme di tutti questi prodotti di sfere chiuse contenenti l'insieme polare {stile di visualizzazione P,} {stile di visualizzazione {matematico {B}}_{P}~{pila {scriptscriptstyle {testo{def}}}{=}}~sinistra{prodotto B_{R_{proiettile }}~:~R_{proiettile }in T_{P}Giusto}~=~sinistra{prodotto B_{R_{proiettile }}~:~Psubseteq prod B_{R_{proiettile }}Giusto},} poi {stile di testo prodotto B_{m_{proiettile }}= tappo {matematico {B}}_{P}in {matematico {B}}_{P}} dove {maiuscoletto in stile testo {matematico {B}}_{P}} denota l'intersezione di tutti gli insiemi appartenenti a {stile di visualizzazione {matematico {B}}_{P}.} Ciò implica (tra l'altro[Nota 5]) Quello {stile di testo prodotto B_{m_{proiettile }}=prodotto _{xin X}B_{m_{X}}} l'unico elemento minimo di {stile di visualizzazione {matematico {B}}_{P}} riguardo a {stile di visualizzazione ,sottoseq ;} questo può essere usato come una definizione alternativa di questo (necessariamente convesso ed equilibrato) impostare. La funzione {stile di visualizzazione m_{proiettile }~{pila {scriptscriptstyle {testo{def}}}{=}}~sinistra(m_{X}Giusto)_{xin X}:Xto [0,infty )} è una seminorma ed è invariata se {stile di visualizzazione U} è sostituito dallo scafo bilanciato convesso di {stile di visualizzazione U} (perché {stile di visualizzazione U^{#}=[nome operatore {cobal} u]^{#}} ). Allo stesso modo, perché {stile di visualizzazione U^{circ }= sinistra[nome operatore {cl} _{X}Hai ragione]^{circ },} {stile di visualizzazione m_{proiettile }} è invariato anche se {stile di visualizzazione U} è sostituito dalla sua chiusura in {stile di visualizzazione X.} Teorema sequenziale di Banach-Alaoglu Un caso speciale del teorema di Banach-Alaoglu è la versione sequenziale del teorema, che asserisce che la palla unitaria chiusa dello spazio duale di uno spazio vettoriale normato separabile è sequenzialmente compatta nella topologia debole-*. Infatti, la topologia debole* sulla sfera unitaria chiusa del duale di uno spazio separabile è metrizzabile, e quindi compattezza e compattezza sequenziale sono equivalenti.
In particolare, permettere {stile di visualizzazione X} essere uno spazio normato separabile e {stile di visualizzazione B} l'unità chiusa entra in gioco {stile di visualizzazione X^{primo }.} Da {stile di visualizzazione X} è separabile, permettere {stile di visualizzazione x_{proiettile }= sinistra(X_{n}Giusto)_{n=1}^{infty }} essere un sottoinsieme denso numerabile. Quindi quanto segue definisce una metrica, dove per qualsiasi {stile di visualizzazione x,yin B} {stile di visualizzazione rho (X,y)=somma _{n=1}^{infty },2^{-n},{frac {sinistra|angolo x-y,X_{n}suona bene|}{1+sinistra|angolo x-y,X_{n}suona bene|}}} in quale {displaystyle angolo cdot ,angolo cdot } denota l'accoppiamento di dualità di {stile di visualizzazione X^{primo }} insieme a {stile di visualizzazione X.} Compattezza sequenziale di {stile di visualizzazione B} in questa metrica può essere dimostrato da un argomento di diagonalizzazione simile a quello impiegato nella dimostrazione del teorema di Arzelà-Ascoli.
A causa della natura costruttiva della sua prova (in contrasto con il caso generale, che si basa sull'assioma della scelta), il teorema sequenziale di Banach-Alaoglu è spesso utilizzato nel campo delle equazioni alle derivate parziali per costruire soluzioni a PDE o problemi variazionali. Per esempio, se si vuole minimizzare un funzionale {stile di visualizzazione F:X^{primo }a matematicabb {R} } sul duale di uno spazio vettoriale normato separabile {stile di visualizzazione X,} una strategia comune consiste nel costruire prima una sequenza minimizzante {stile di visualizzazione x_{1},X_{2},ldot in X^{primo }} che si avvicina all'infimo di {stile di visualizzazione F,} utilizzare il teorema sequenziale di Banach-Alaoglu per estrarre una sottosuccessione che converge nella topologia debole* a un limite {stile di visualizzazione x,} e poi stabilirlo {stile di visualizzazione x} è un minimizzatore di {stile di visualizzazione F.} L'ultimo passaggio richiede spesso {stile di visualizzazione F} obbedire a (sequenziale) proprietà di semicontinuità inferiore nella topologia debole*.
quando {stile di visualizzazione X^{primo }} è lo spazio delle misure finite di Radon sulla retta reale (affinché {stile di visualizzazione X=C_{0}(mathbb {R} )} è lo spazio delle funzioni continue che si annullano all'infinito, dal teorema di rappresentazione di Riesz), il teorema sequenziale di Banach-Alaoglu è equivalente al teorema della selezione di Helly.
Prova per ogni {stile di visualizzazione xin X,} permettere {stile di visualizzazione D_{X}={cin matematicabb {C} :|c|leq |X|}} e lascia {displaystyle D=prod_{xin X}D_{X}} essere dotato della topologia del prodotto. Perché ogni {stile di visualizzazione D_{X}} è un sottoinsieme compatto del piano complesso, Il teorema di Tychonoff garantisce che il loro prodotto {stile di visualizzazione D} è compatto.
L'unità chiusa entra in azione {stile di visualizzazione X^{primo },} denotato da {stile di visualizzazione B_{1}^{,primo },} può essere identificato come un sottoinsieme di {stile di visualizzazione D} in modo naturale: {stile di visualizzazione {inizio{allineare}{4}F:;&&B_{1}^{,primo }&&;a ;&D\[0.3ex]&&f&&;mappe ;&(f(X))_{xin X}.\fine{allineare}}} Questa mappa è iniettiva ed è continua quando {stile di visualizzazione B_{1}^{,primo }} ha la topologia weak-*. Questa mappa è inversa, definita sulla sua immagine, è anche continuo.
Verrà ora mostrato che l'immagine della mappa sopra è chiusa, che completerà la dimostrazione del teorema. Dato un punto {displaystyle lambda _{proiettile }= sinistra(lambda _{X}Giusto)_{xin X}in d} e una rete {stile di visualizzazione a sinistra(f_{io}(X)Giusto)_{xin X}} a immagine di {stile di visualizzazione F} indicizzato da {stile di visualizzazione iin I} tale che {displaystyle lim _{io}sinistra(f_{io}(X)Giusto)_{xin X}lambda_{proiettile }quad {testo{ in }}D,} il funzionale {stile di visualizzazione g:Xto matematicabb {C} } definito da {stile di visualizzazione g(X)= lambda _{X}qquad {testo{ per ogni }}xin X,} si trova in {stile di visualizzazione B_{1}^{,primo }} e {stile di visualizzazione F(g)= lambda _{proiettile }.} {stile di visualizzazione quadrato nero } Conseguenze Conseguenze per gli spazi normati Supponiamo che {stile di visualizzazione X} è uno spazio normato e dota il suo spazio duale continuo {stile di visualizzazione X^{primo }} con la solita norma duale.
L'unità chiusa entra in azione {stile di visualizzazione X^{primo }} è debole-* compatto.[3] Quindi se {stile di visualizzazione X^{primo }} è di dimensione infinita, allora la sua sfera unitaria chiusa non è necessariamente compatta nella topologia della norma di F. Il teorema di Riesz (nonostante sia debole-* compatto). Uno spazio di Banach è riflessivo se e solo se la sua sfera unitaria chiusa lo è {displaystyle sigma a sinistra(X,X^{primo }Giusto)} -compatto; questo è noto come teorema di James.[3] Se {stile di visualizzazione X} è uno spazio di Banach riflessivo, quindi ogni sequenza limitata in {stile di visualizzazione X} ha una sottosuccessione debolmente convergente. (Ciò segue applicando il teorema di Banach-Alaoglu a un sottospazio debolmente metrizzabile di {stile di visualizzazione X} ; o, più succintamente, applicando il teorema di Eberlein-Šmulian.) Per esempio, supporre che {stile di visualizzazione X} è lo spazio Lp spazio {stile di visualizzazione L^{p}(in )} dove {stile di visualizzazione 1
Se vuoi conoscere altri articoli simili a Teorema di Banach-Alaoglu puoi visitare la categoria Teoremi di compattezza.
lascia un commento