Teorema dell'area (conformal mapping)

Teorema dell'area (conformal mapping) In the mathematical theory of conformal mappings, the area theorem gives an inequality satisfied by the power series coefficients of certain conformal mappings. The theorem is called by that name, not because of its implications, but rather because the proof uses the notion of area.

Contenuti 1 Dichiarazione 2 Prova 3 Uses 4 References Statement Suppose that {stile di visualizzazione f} is analytic and injective in the punctured open unit disk {displaystyle mathbb {D} set meno {0}} and has the power series representation {stile di visualizzazione f(z)={frac {1}{z}}+somma _{n=0}^{infty }un_{n}z^{n},qquad zin mathbb {D} set meno {0},} then the coefficients {stile di visualizzazione a_{n}} satisfy {somma dello stile di visualizzazione _{n=0}^{infty }n|un_{n}|^{2}leq 1.} Proof The idea of the proof is to look at the area uncovered by the image of {stile di visualizzazione f} . Define for {displaystyle rin (0,1)} {stile di visualizzazione gamma _{r}(teta ):=f(r,e^{-itteta }),qquad theta in [0,2pi ].} Quindi {stile di visualizzazione gamma _{r}} is a simple closed curve in the plane. Permettere {stile di visualizzazione D_{r}} denote the unique bounded connected component of {displaystyle mathbb {C} setminus gamma [0,2pi ]} . The existence and uniqueness of {stile di visualizzazione D_{r}} follows from Jordan's curve theorem.

Se {stile di visualizzazione D} is a domain in the plane whose boundary is a smooth simple closed curve {gamma di stili di visualizzazione } , poi {displaystyle matematica {area} (D)=int _{gamma }X,dy=-int _{gamma }y,dx,,} provided that {gamma di stili di visualizzazione } is positively oriented around {stile di visualizzazione D} . This follows easily, Per esempio, from Green's theorem. As we will soon see, {stile di visualizzazione gamma _{r}} is positively oriented around {stile di visualizzazione D_{r}} (and that is the reason for the minus sign in the definition of {stile di visualizzazione gamma _{r}} ). After applying the chain rule and the formula for {stile di visualizzazione gamma _{r}} , the above expressions for the area give {displaystyle matematica {area} (D_{r})=int _{0}^{2pi }Re {all'improvviso (}f(re^{-itteta }){più grande )},Io sono {all'improvviso (}-io,r,e^{-itteta },f'(re^{-itteta }){più grande )},dtheta =-int _{0}^{2pi }Io sono {all'improvviso (}f(re^{-itteta }){più grande )},Re {all'improvviso (}-io,r,e^{-itteta },f'(re^{-itteta }){più grande )}teta .} Perciò, the area of {stile di visualizzazione D_{r}} also equals to the average of the two expressions on the right hand side. After simplification, this yields {displaystyle matematica {area} (D_{r})=-{frac {1}{2}},Re int _{0}^{2pi }f(r,e^{-itteta }),{sopra {r,e^{-itteta },f'(r,e^{-itteta })}},teta ,} dove {stile di visualizzazione {sopra {z}}} denotes complex conjugation. We set {stile di visualizzazione a_{-1}=1} and use the power series expansion for {stile di visualizzazione f} , ottenere {displaystyle matematica {area} (D_{r})=-{frac {1}{2}},Re int _{0}^{2pi }somma _{n=-1}^{infty }somma _{m=-1}^{infty }m,r^{n+m},un_{n},{sopra {un_{m}}},e^{io,(m-n),teta },teta ,.} (Da {displaystyle int _{0}^{2pi }somma _{n=-1}^{infty }somma _{m=-1}^{infty }m,r^{n+m},|un_{n}|,|un_{m}|,teta 0} , we may write the expression for the winding number of {stile di visualizzazione gamma _{S}} intorno a {stile di visualizzazione z_{0}} , and verify that it is equal to {stile di visualizzazione 1} . Da, {stile di visualizzazione gamma _{t}} does not pass through {stile di visualizzazione z_{0}} quando {displaystyle tneq r'} (come {stile di visualizzazione f} è iniettivo), the invariance of the winding number under homotopy in the complement of {stile di visualizzazione z_{0}} implies that the winding number of {stile di visualizzazione gamma _{r}} intorno a {stile di visualizzazione z_{0}} è anche {stile di visualizzazione 1} . Questo implica che {stile di visualizzazione z_{0}in D_{r}} e quello {stile di visualizzazione gamma _{r}} is positively oriented around {stile di visualizzazione D_{r}} , come richiesto.

Uses The inequalities satisfied by power series coefficients of conformal mappings were of considerable interest to mathematicians prior to the solution of the Bieberbach conjecture. The area theorem is a central tool in this context. Inoltre, the area theorem is often used in order to prove the Koebe 1/4 teorema, which is very useful in the study of the geometry of conformal mappings.

References Rudin, Walter (1987), Analisi reale e complessa (33a ed.), New York: McGraw-Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, SIG 0924157, OCLC 13093736 Categorie: Teoremi in analisi complessa

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