Satz von Abel

Der Satz von Abel Dieser Artikel behandelt den Satz von Abel über Potenzreihen. Für den Satz von Abel über algebraische Kurven, siehe Abel-Jacobi-Karte. Für den Satz von Abel über die Unlöslichkeit der quintischen Gleichung, siehe Satz von Abel-Ruffini. Für den Satz von Abel über lineare Differentialgleichungen, siehe Abels Identität. Für den Satz von Abel über irreduzible Polynome, siehe Irreduzibilitätssatz von Abel. Für Abels Formel zur Summation einer Reihe, mit einem Integral, siehe Summenformel von Abel. Dieser Artikel enthält eine Liste von Referenzen, weiterführende Lektüre oder externe Links, Die Quellen bleiben jedoch unklar, da Inline-Zitate fehlen. Bitte helfen Sie mit, diesen Artikel zu verbessern, indem Sie genauere Zitate einfügen. (Februar 2013) (Erfahren Sie, wie und wann Sie diese Vorlagennachricht entfernen können) In Mathematik, Der Satz von Abel für Potenzreihen bezieht einen Grenzwert einer Potenzreihe auf die Summe ihrer Koeffizienten. Es ist nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel benannt.

Inhalt 1 Satz 2 Bemerkungen 3 Anwendungen 4 Gliederung des Beweises 5 Verwandte konzepte 6 Siehe auch 7 Weiterlesen 8 Externe Links Theorem Lassen Sie die Taylor-Reihe {Anzeigestil G(x)= Summe _{k=0}^{unendlich }a_{k}x^{k}} eine Potenzreihe mit reellen Koeffizienten sein {Anzeigestil a_{k}} mit Konvergenzradius {Anzeigestil 1.} Angenommen, die Serie {Anzeigestil Summe _{k=0}^{unendlich }a_{k}} konvergiert. Dann {Anzeigestil G(x)} ist von links stetig bei {Anzeigestil x=1,} das ist, {Anzeigestil lim _{xbis 1^{-}}G(x)= Summe _{k=0}^{unendlich }a_{k}.} Der gleiche Satz gilt für komplexe Potenzreihen {Anzeigestil G(z)= Summe _{k=0}^{unendlich }a_{k}z^{k},} unter der Vorraussetzung, dass {Anzeigestil zto 1} vollständig innerhalb eines einzigen Stolz-Sektors, das ist, eine Region der offenen Einheitsscheibe, wo {Anzeigestil |1-z|leq M(1-|z|)} für einige feste endlich {displaystyle M>1} . Ohne diese Einschränkung, die Grenze kann nicht existieren: zum Beispiel, die Potenzreihe {Anzeigestil Summe _{n>0}{frac {z^{3^{n}}-z^{2cdot 3^{n}}}{n}}} konvergiert zu {Anzeigestil 0} bei {Anzeigestil z = 1,} aber ist in der Nähe von jedem Punkt der Form unbegrenzt {Anzeigestil e^{pi i/3^{n}},} also der Wert bei {Anzeigestil z = 1} ist nicht die Grenze wie {Anzeigestil mit} neigt dazu 1 in der ganzen offenen Scheibe.

Beachten Sie, dass {Anzeigestil G(z)} auf dem reellen geschlossenen Intervall stetig ist {Anzeigestil [0,t]} zum {Anzeigestil t<1,} by virtue of the uniform convergence of the series on compact subsets of the disk of convergence. Abel's theorem allows us to say more, namely that {displaystyle G(z)} is continuous on {displaystyle [0,1].} Remarks As an immediate consequence of this theorem, if {displaystyle z} is any nonzero complex number for which the series {displaystyle sum _{k=0}^{infty }a_{k}z^{k}} converges, then it follows that {displaystyle lim _{tto 1^{-}}G(tz)=sum _{k=0}^{infty }a_{k}z^{k}} in which the limit is taken from below. The theorem can also be generalized to account for sums which diverge to infinity.[citation needed] If {displaystyle sum _{k=0}^{infty }a_{k}=infty } then {displaystyle lim _{zto 1^{-}}G(z)to infty .} However, if the series is only known to be divergent, but for reasons other than diverging to infinity, then the claim of the theorem may fail: take, for example, the power series for {displaystyle {frac {1}{1+z}}.} At {displaystyle z=1} the series is equal to {displaystyle 1-1+1-1+cdots ,} but {displaystyle {tfrac {1}{1+1}}={tfrac {1}{2}}.} We also remark the theorem holds for radii of convergence other than {displaystyle R=1} : let {displaystyle G(x)=sum _{k=0}^{infty }a_{k}x^{k}} be a power series with radius of convergence {displaystyle R,} and suppose the series converges at {displaystyle x=R.} Then {displaystyle G(x)} is continuous from the left at {displaystyle x=R,} that is, {displaystyle lim _{xto R^{-}}G(x)=G(R).} Applications The utility of Abel's theorem is that it allows us to find the limit of a power series as its argument (that is, {displaystyle z} ) approaches {displaystyle 1} from below, even in cases where the radius of convergence, {displaystyle R,} of the power series is equal to {displaystyle 1} and we cannot be sure whether the limit should be finite or not. See for example, the binomial series. Abel's theorem allows us to evaluate many series in closed form. For example, when {displaystyle a_{k}={frac {(-1)^{k}}{k+1}},} we obtain {displaystyle G_{a}(z)={frac {ln(1+z)}{z}},qquad 0displaystyle varepsilon >0,} wählen {Anzeigestil n} groß genug damit {Anzeigestil |s_{k}|

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