Seis ventajas de medir pi a la egipcia

¿Cómo pudieron los antiguos egipcios medir el valor del número $\pi$? Como sabemos, tenían comunicación directa y fluida con varias civilizaciones extraterrestres. Pero, ¿y si hubieran querido medirlo por sí mismos? Petr Beckmann, en las primeras páginas de su libro A History of $\pi$, los imagina dibujando en la orilla arenosa del Nilo. La idea es sencilla:

  1. Clava un palo en la arena, en lo que será el centro de una circunferencia. Ata una cuerda a él, con otro palo en el otro extremo. Traza así la circunferencia.
    Cómo medir pi (1)

  2. Tira los dos palos y la cuerda, pero cuida sus marcas en la arena. Toma otra cuerda (la amarilla en el dibujo) y córtala a la longitud del diámetro: de un lado de la circunferencia al otro pasando por el centro.
    Cómo medir pi (2)

  3. Coloca la cuerda amarilla sobre la circunferencia: una vez, dos veces, tres veces. Sobra un trozo de circunferencia.
    Cómo medir pi (3)

  4. Corta otra cuerda a la longitud del trozo sobrante (la azul). Mira cuántas veces cabe la cuerda azul en la amarilla. Encontrarás que cabe un poco más de siete veces, pero menos de ocho.
    Cómo medir pi (4)

En la circunferencia caben, por tanto, unos $3+\frac{1}{7}$ diámetros. Y eso es $\pi$, aproximadamente.


La duda necesaria

La primera vez que te explican qué es $\pi$ es necesario que desconfíes: ¿cómo puedes estar seguro de que su valor no varía? ¿El resultado será el mismo para una circunferencia pequeña y para una de tamaño astronómico, digamos una que abarque toda la Vía Láctea? ¿Es $\pi$ realmente constante? Para salir de la duda, te propongo un experimento mental.

Como lo importante de esta vida no es vivirla, sino grabarla, has hecho un vídeo con todo el proceso a la egipcia descrito arriba. Ahora, puedes reproducir el vídeo en la pequeña pantalla de tu teléfono, o en la grande del televisor del salón, o proyectarlo en una pantalla IMAX. Las circunferencias aparecerán con distintos tamaños. Pero las películas acaban siempre igual: en las de Hollywood, los protagonistas se casan; en la tuya, el diámetro cabe en la circunferencia la misma cantidad de veces. Así que, sí: el valor de $\pi$ es invariable; no depende del tamaño de la circunferencia.


Este es el método moderno

En la enseñanza moderna lo habitual es que se anime a los estudiantes a medir en centímetros —u otra unidad arbitraria— y a dividir los números que resulten: la medida de la circunferencia entre la del diámetro. Si hacen esto varias veces, con varios objetos redondos, encontrarán que el resultado es siempre aproximadamente igual al conocido $3{,}14$.

Ese es el método que se usa en los libros de texto españoles, en los de Singapur y en todos los sitios de Internet donde se trata el asunto.

Aprendizaje de pi con un libro de Singapur
Libro de Marshall-Cavendish para Singapur. | Tomado de aquí.

Aprendizaje de pi con un libro español
Libro de SM de sexto de primaria. | Tomado de aquí.

Opino, sin embargo, que esta forma de enseñar $\pi$ —con regla y división— no es la más adecuada. Voy a escribir mis razones, con la esperanza de que mi error sea discretamente señalado (o mi acierto sonoramente aclamado).


Las seis razones

  1. Es natural: Para averiguar cuántas veces una cosa cabe en otra, lo natural es… bueno, hacerlo. No es necesario introducir una unidad de medida arbitraria —centímetros— ni una operación de división, que añaden complejidad sin dar nada a cambio.

  2. Es natural (insisto): La unidad más natural para tomar medidas en el círculo es el radio (o el diámetro). Y entender esto ayuda a entender otros conceptos, como las razones trigonométricas (seno, etc.) y la importancia de la proporción en geometría (que traté de explicar en El teorema de Tales y el iPad).

  3. Primero el concepto: El significado geométrico de $\pi$ es más importante que su valor numérico. Cuando la medida es directa, el significado queda claro y se aprende; cuando se interponen las reglas y las divisiones, el valor numérico toma el primer plano.

  4. Primero el concepto (insisto): Todo el proceso a la egipcia se puede llevar a cabo primero mentalmente, como lo has hecho mientras leías esta entrada. No obtendrás así el valor de $\pi$, claro, pero sí su concepto y la convicción de que es constante. Después, el ejercicio manual te dirá el valor aproximado.

  5. Permite pensar: Si haces las medidas y sus divisiones repetidamente, con distintos objetos redondos, los resultados serán parecidos, pero seguramente no iguales. Se espera que aceptes que las diferencias se deben a la poca precisión en la medida, pero, ¿cómo puedes estar seguro? El experimento mental que nos sacó de la duda no es ahora posible, porque se han interpuesto los centímetros.

  6. Permite pensar (insisto): El procedimiento de regla y división solo da de sí hasta donde llega la precisión de los mejores instrumentos. Por contra, razonamientos elaborados nos llevan a fórmulas y métodos que han servido para calcular millones de decimales del número $\pi$… ehhh, bueno, y también han servido para cosas útiles.


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