Las paradojas acechan

Me parece que el último acertijo, Ahora que sé que tú no sabes, tiene carne para un cocido más. Esta entrada podrá enriquecerte si ya lo resolviste o ayudarte si se te resistió.

Propongo una situación parecida a la de entonces, pero no igual. Abelardo y Belisaria han recibido cada uno un número (entero y del cero en adelante). Nosotros no sabemos cuáles son. Sí sabemos, porque ha sido dicho en voz alta, que son dos números consecutivos. Si uno es el $2$, el otro solo podrá ser el $1$ o el $3$. Si uno es el $100$, el otro solo podrá ser el $99$ o el $101$.

Se les pregunta a la vez a Abelardo y Belisaria si pueden deducir qué número tiene el otro. Ambos responden a la vez que no saben. Si uno de los números fuera el $0$, el otro solo podría ser el $1$. Esa es la única situación en la que uno de los dos sabría el número del otro. Como ninguno sabe, ahora nosotros sabemos, y ellos saben, que ninguno de ellos tiene el $0$. Estamos, si queremos verlo así, ante un nuevo acertijo en el que los dos números son del $1$ en adelante.

Se les pregunta a los dos una segunda vez si saben ahora que número tiene el otro. Ambos responden simultáneamente que no saben. Si uno de los números fuera el $1$, sabiendo lo que ya sabemos, el otro solo podría ser el $2$, ya no el $0$. Como ninguno sabe, ninguno tiene el $1$. Estamos ante un nuevo acertijo en el que los dos números son ahora del $2$ en adelante.

Digamos que a la siguiente pregunta Abelardo dice ya que él sí sabe. Deducimos, sin que diga más, que él tiene el $2$ y Belisaria el $3$.

El proceso puede ser tan largo como quieras, al menos en teoría. Si Abelardo tuviera el $999{.}999$ y Belisaria el $1{.}000{.}000$, Abelardo sería el primero en cantar un , y lo haría infaliblemente después de que ambos hubieran sido preguntados un millón de veces.

Mira esta pequeña variación: supón que desde el principio nosotros sabemos (pero los concursantes no) que los dos números son de una sola cifra, esto es, del $0$ al $9$. Después de ocho preguntas y dieciséis respuestas negativas, sabemos que los dos números deben ser del $8$ en adelante. Así que sabemos que uno ha de ser el $8$ y el otro el $9$. Y sabemos con seguridad que la siguiente pregunta, la novena, tendrá una respuesta afirmativa.

Lógico, sólido e irrefutable. Pero la paradoja acecha.

Lo que te voy a contar se llama «paradoja del examen». Voy a respetar su forma habitual, que habla de días y no de números. Un profesor anuncia a sus alumnos que durante la semana siguiente, de lunes a viernes, les hará un examen sorpresa. Sorpresa porque, el día que sea, ellos no se lo esperarán. Abelardo, alumno de la clase, después de haber pasado por los acertijos anteriores, sabe cómo razonar:

«Si llega la noche del jueves sin que el examen haya tenido lugar, todos los alumnos sabremos que el examen será el viernes, el último día posible. No habría sorpresa. Claramente, el examen solo puede ser de lunes a jueves. Pero, entonces, no puede ser el jueves, porque llegada la noche del miércoles todos sabremos…»

Deduce Abelardo, con lógica sólida e irrefutable, que el profesor no puede cumplir su palabra y el examen no puede tener lugar. Sin embargo, cierto día de la semana, el profesor atraviesa la puerta del aula gritando «examen». Abelardo piensa en refutar al profesor, pero lo cierto es que no puede esconder su sorpresa.

La ficción literaria crea universos propios, y en eso se parece a las matemáticas. Los personajes interactúan y configuran historias; también lo hacen los conceptos y configuran teorías. Crear universos sólidos y consistentes, además de atractivos y originales, es el trabajo de J. K. Rowling y el de Cervantes. Y es el trabajo de Grothendieck y el de Galois. A veces —pero solo a veces— la invención resulta; es atractiva, es creíble aunque hable de dragones o de espacios de seis dimensiones. Otras veces el universo no se sostiene.

J. K. Rowling y Grothendieck
Creadores de universos: J. K. Rowling y Grothendieck

Desconozco todo sobre teoría literaria, pero no me sorprendería saber que detalles menores puedan arruinar un universo narrativo prometedor. En matemáticas también a veces ocurre que es escasa la diferencia entre la creación genial y la inútil. La paradoja del examen es un ejemplo algo tramposo, porque introduce la sorpresa de un personaje, que es un artilugio más literario que matemático. Pero la inconsistencia acecha siempre.

Un conocido episodio en este sentido es el de la carta que Gottlob Frege recibió de Bertrand Russell en 1902. Frege acababa de dar a la imprenta el resultado de un trabajo de años, y Russell encontró una paradoja latente en la obra. Se cuenta someramente aquí. Así lo encajó Frege: «Difícilmente puede haber algo más indeseable para un científico que ver el derrumbe de sus cimientos justamente cuando la obra está acabada. La carta del Sr. Bertrand Russell me ha puesto en esta situación…»


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