Necesitamos fórmulas

No comparto esa máxima según la cual los libros de divulgación y las fórmulas son incompatibles. Vamos a ver1:

Si quieres multiplicar 7 más la raíz de la raíz de 10 por 8 más la raíz de la raíz de 12, entonces el 7 se multiplica por el 8, y la raíz de la raíz de 10 se multiplica por la raíz de la raíz de 12, y el 7 por la raíz de la raíz de 12, y el 8 por la raíz de la raíz de 10 produciendo el entero 56 más ocho raíces de la raíz de 10 más siete raíces de la raíz de 12 más una raíz de la raíz de 120.

Este extracto pertenece a un libro de Leonardo de Pisa (hoy más conocido como Fibonacci), uno de los matemáticos más eminentes de la Edad Media europea. El libro se llama Liber Abaci y fue escrito en 1202. La frase no es un acertijo, ni una broma: así se escribían las matemáticas. El Liber Abaci fue un libro muy influyente en su época y está lleno de frases así.

El lenguaje matemático moderno nos permite escribir de forma más clara y concisa:
$$\begin{array}{l l}
& (7+\sqrt[4]{10}) \;\cdot\; (8+\sqrt[4]{12}) \\[6pt]
=& 7\cdot8 \;+\; \sqrt[4]{10}\cdot\sqrt[4]{12} \;+\; 7\cdot\sqrt[4]{12} \;+\; 8\cdot\sqrt[4]{10} \\[6pt]
=& 56 \;+\; 8\cdot\sqrt[4]{10} \;+\; 7\cdot\sqrt[4]{12} \;+\; \sqrt[4]{120}
\end{array}$$

Es, en resumen, la propiedad distributiva. No digo que esto se entienda al primer golpe de vista. Las fórmulas son más densas en información que el texto normal, y necesitan ser leídas mucho más detenidamente. Pero esto es de todo punto preferible a la verborrea que necesitaba Leonardo. Si un divulgador quiere asegurarse de que su lector entiende la propiedad distributiva, tras explicarla convenientemente, ¿hará mejor en enunciarla al estilo Leonardo, o en resumirla como $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$?

La esencia de las matemáticas son las ideas, la abstracción, la imaginación. Pero una buena manera de transmitir las ideas por escrito lo hace todo más fácil. El español, y cualquier otro idioma, necesita ser enriquecido con cifras, símbolos, fórmulas, para hacerlo más útil, más expresivo.

La creación de la escritura matemática fue tarea lenta y muchos son los que deben recibir nuestro agradecimiento: las dos rayitas iguales de Robert Recorde2; la cruz que ha quedado de la palabra latina et para denotar la suma3; las cifras arábigas, incluido el cero que olvidó el monje Vigila4

Ocurrencia clave fue la de usar letras u otros símbolos para representar cantidades desconocidas o que no interesa precisar. Lo que sigue es la traducción de uno de los problemas del papiro Rhind, del siglo XVII antes de Cristo5:

Ejemplo de hacer un triángulo en la tierra. Supongamos que te dicen: un triángulo de 10 jet de alto y 4 jet de base, ¿cuál es su área?
Toma la mitad de 4, esto es, 2, para conseguir su rectángulo. Multiplica 10 por 2; ésta es el área.

Es decir, la mitad de la base por la altura: $A=b\cdot h/2$. Mientras que el escriba solo consigue explicarse mediante ejemplos particulares, la fórmula habla a la vez de todos los triángulos.

Fórmulas manuscritas
Ni me imagino esto escrito en español. [cohdra en morgueFile]

Un par de ejemplos más, sin traducción, como reto. Este primero está tomado de los Elementos de Euclides6 y no se le puede negar una cierta elegancia:

Si un todo es a un todo como una parte sustraída es a una parte sustraída, entonces el resto es también al resto como el todo es al todo.


Y el último ejemplo proviene de otro libro de Leonardo de Pisa, Liber quadratorum7, y no hay en él asomo de elegancia:

Si dos números son primos entre sí y tienen suma par, y si el triple producto de los dos números y su suma se multiplica por el número por el que el número mayor excede al número menor, resulta un número que será múltiplo de veinticuatro.

Por eso, insisto, no comparto la opinión de que los libros de divulgación no deben contener fórmulas. O si acaso unas poquitas para que se note que es un libro respetable. Una fórmula, como una ilustración, ayuda a entender. Por sí sola no es nada, necesita explicación, y he tenido cuidado de escribir arriba que el lenguaje matemático enriquece al lenguaje natural, no que lo sustituye.

La fórmula $c^2=a^2+b^2\;$ no es el teorema de Pitágoras pero, sabido ya el teorema, lo representa de manera reconocible en un solo golpe de vista. La famosa letanía «el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos» es, de entrada, igual de oscura. Necesita, al menos, explicación de qué son una hipotenusa y un cateto. Además, la longitud de la frase (y esta no es especialmente larga) hace más difícil hacerla llegar a la mente y retenerla allí.

Úsense fórmulas, pues. A cientos, si es pertinente. Todas convenientemente explicadas. Nadie sea privado de su claridad ni de su ocasional belleza.

Y tú, lector, lectora, aprecia que una fórmula no se lee como una frase de una novela, sino como un poema breve: detenidamente, repetidamente, hasta verle el fondo.


Esta entrada participa en la Edición 5.6: Paul Erdős del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.


  1. Traducido de Fibonacci’s Liber Abaci, de Laurence E. Sigler.  
  2. Aquí hay más sobre el origen del símbolo «=». 
  3. Y aquí sobre el origen del símbolo «+». 
  4. El Códice vigilano, que se conserva en el monasterio de El Escorial, contiene la primera aparición en Europa de las cifras del 1 al 9. Aquí está la ilustración que nos interesa. 
  5. Concretamente, es el problema 51. Véase The Rhind Mathematical Papyrus, de A. B. Chace.  
  6. Es la proposición 19 del libro VII. 
  7. Traducido de Fibonacci and Square Numbers, de Patrick Headley, disponible online aquí

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