¿Hay un mensaje oculto en el número pi?

¿Hay un mensaje oculto en las infinitas cifras decimales del número $\pi$? ¡Menuda pregunta! ¿Hay mensajes ocultos en las medidas de la Gran Pirámide? ¿Y en la disposición casual de los posos del café? Sin embargo, quien lo propone es Carl Sagan, atacante tenaz de lo paranormal y del ocultismo. Quizá deba hacer la pregunta de otra manera.

Fantaseemos. Imagina que sabes crear universos en tu laboratorio de física. Imagina que sospechas que, en alguno de los universos que sabes crear, la inteligencia podría aparecer de forma espontánea. Quieres dejar una firma, un mensaje, un guiño a tus posibles criaturas. ¿Cómo lo harás? ¿Podrás ajustar el valor de $\pi$ en tus universos?

Hacia el final de su novela Contacto, de 1985, Carl Sagan describe la existencia (que es solo ficticia) de un patrón poco probable en las cifras decimales del número $\pi$: un guiño del creador. (Por cierto, que ni esto ni nada interesante de la novela quedó en la sosa adaptación al cine de 1997. Estilo Hollywood.)

Es díficil de aceptar. La constante que llamamos $\pi$ dice cuántas veces cabe el diámetro en su circunferencia. ¿Cómo podría cambiar? Y sabemos que $\pi$ es más cosas. Por ejemplo:

$$\frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} – \frac{1}{3} + \frac{1}{5} – \frac{1}{7} + \frac{1}{9} – \frac{1}{11} + \frac{1}{13} – \cdots$$

$$\frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots$$

También está la impresionante fórmula de los hermanos Chudnovsky, que escribo por si necesitas una excusa para dejar de leer ahora:

$$\frac{1}{\pi} = \frac{12}{640320^{3/2}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)!\, (13591409 + 545140134\,k)}{(3k)!\,(k!)^3 (-640320)^{3k}}$$

¿Cómo se puede elegir el valor de estas sumas? ¿Cómo podría ser que si pones una unidad al lado de otra el total no sea de dos unidades? Jorge Wagensberg lo dijo en breve: «Dios pudo inventar la física, pero tuvo que aceptar la matemática».

Temo que me taches de impío por dudar del poder de dios y quieras someterme a ordalía. Pero vengo acompañado de un padre y doctor de la Iglesia católica: San Agustín. Para entender la frase que voy a citar necesitas saber (como sabía San Agustín) que un número se llama perfecto si es igual a la suma de todos sus divisores propios. Vale, abajo lo explico mejor, pero da igual. El caso es que algunos números cumplen esa propiedad y otros no, y el número $6$ es de los que sí.

Ahí va San Agustín: «[…] no podemos decir que el número seis es perfecto porque en seis días completó Dios toda su obra, sino que por ser perfecto el número seis, por eso en seis días completó Dios su obra.» (De su Comentario literal al Génesis, que puedes encontrar, por ejemplo, en www.augustinus.it.)

Así que dios no pudo elegir completar la creación en, digamos, ocho días, y hacer que el $8$ tuviera la propiedad de ser perfecto. Dios aceptó las matemáticas, aceptó la perfección del $6$ y ajustó a él su obra. Igualmente aceptaría el valor de $\pi$.

San Agustín y Carl Sagan
San Agustín y Carl Sagan no acaban de ponerse de acuerdo.

Voy con la definición de número perfecto. Toma el $6$. Se puede dividir en partes iguales de tamaño $1$ (seis partes). También se puede dividir en partes iguales de tamaño $2$ (tres partes). Y en partes iguales de tamaño $3$ (dos partes). No hay otra forma de dividirlo en partes iguales. Esos son todos sus divisores: $1$, $2$ y $3$. Y si sumamos $1+2+3$, tachán, sale de nuevo $6$. Toma ahora, por ejemplo, el número $8$. Sus divisores son $1$, $2$ y $4$, que sumados dan $7$. El $6$ es perfecto; el $8$, no.

Los números perfectos son escasos. El siguiente al $6$ es el $28\;(=1+2+4+7+14)$ y después el $496$, el $8{.}128$, el $33{.}550{.}336$… Aún no sabemos si hay una cantidad infinita de ellos. También es escasa su importancia en la matemática actual, pero en siglos pasados se les dedicaron bastantes esfuerzos.

Si esto fuera un blog de filología —y yo versado en el tema— te contaría que el adjetivo perfecto debe entenderse aquí en su sentido etimológico de completo, el mismo que se usa en gramática cuando se habla de pretérito perfecto, y en derecho cuando se habla de perfeccionar un contrato. En la frase original de San Agustín, en latín, se usa el mismo término para número perfecto y para decir que dios completó (es decir, perfeccionó) su obra.

El $6$ es un número perfecto, completo, porque sus partes lo llenan. Míralo de esta manera, según la figura que sigue: Con $6$ piezas cuadradas, haz todos los rectángulos distintos posibles (el verde,el amarillo y el rojo), ponlos todos uno al lado del otro y comprueba que el ancho total es de nuevo $6$.

El 6 es perfecto.

¿Has pensado ya lo de tu universo? Vamos. Estás a punto de poner en marcha tu creación. Has dedicado grandes esfuerzos a elegir los parámetros adecuados para que tu universo sea habitable. Quieres dejar tu huella. Una vez creado, estará fuera de tu control. Nada de milagros sobre la marcha; nada de zarzas ardiendo ni libros revelados. ¿Cómo lo harás? No en $\pi$, no en las matemáticas. ¿En la física? ¿Quizá en la masa del electrón? No, porque las unidades de medida son arbitrarias. No valen pesos, ni tamaños. Quizá alguna relación, alguna constante sin dimensión. Por ejemplo, cuántas veces más pesado es el protón que el electrón. ¿Algún físico teórico en la sala?

 


Esta entrada participa en la edición 6.4: pseudoprimos del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog pimedios.


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