Mate no constructivista en dos jugadas

El enunciado es «blancas juegan y dan mate no constructivista en dos»:

Mate no constructivista

Ahí queda como reto, de momento.

El problema, un prodigio de composición, está tomado de The Chess Mysteries of Sherlock Holmes, de Raymond Smullyan. Un libro impresionante. Tiene segunda parte, y ambas están traducidas al español (están aquí y aquí, por si te interesa).


Matemáticas en crisis

Empezaré informalmente: Tienes interés en averiguar si existe alguien en España que pague todos sus impuestos. Encargas las pesquisas a un equipo de expertos. Esperas que el resultado sea algo como «hemos encontrado a la señora Fulanita de Tal, residente en Allimismo, cuya biografía fiscal es inmaculada».

En vez de eso, los expertos elaboran un informe contando cómo han calculado la distribución patrimonial de la población española, la han comparado con la de cierta región del sur de Noruega, han tenido en cuenta la recaudación fiscal media ponderada en las últimas décadas y, usando las más contrastadas técnicas teóricas, han deducido sin lugar a dudas que el conjunto de los españoles fiscalmente honrados contiene al menos un individuo. Repasas el argumento punto por punto y lo encuentras correcto, pero no da ni una pista sobre por dónde empezar a buscar a tan improbable ciudadano. El informe puede resultarte muy o nada convincente, según con qué ojos lo mires, pero nunca tanto como un ejemplo con nombre y apellido.

En las decadas alrededor del año 1900 las matemáticas pasaron por una especie de crisis existencial. Primero fue el descubrimiento de geometrías extravagantes (o no euclidianas, que suena mejor) que parecían indiferentes al mundo físico real. Luego vino Cantor con su concepto múltiple e intrincado del infinito, rechazado de plano por unos y abrazado con emoción por otros. Y llegó Gödel para convencernos de que en matemáticas no siempre existen respuestas.

Además, se estaban usando ciertos métodos de demostración digamos que controvertidos, al estilo de la historieta anterior.


Un ejemplo serio

Dentro de las matemáticas, el ejemplo habitual de demostración controvertida se refiere a este teorema:

Existen dos números irracionales, llamémoslos $a$ y $b$, tales que su potencia $a^b$ es racional.

Si te espantan las potencias y las raíces cuadradas tienes mi permiso para adelantar hasta la siguiente sección. Si te quedas, déjame recordarte que un número racional es una fracción, como $708/121$. Un número irracional es el que no es racional, o sea, que no se puede poner como una fracción. Desde antiguo se sabe que $\sqrt{2}$ es irracional.

El teorema se demuestra fijándose en $\sqrt{2}^\sqrt{2}$ y analizando dos casos por separado:

  • Primer caso: Supón que $\sqrt{2}^\sqrt{2}$ es racional. No sabes si es verdad, pero supón que lo es. Pues no hay más que hacer: tienes dos números que sabes que son irracionales, $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}\,$ (iguales casualmente) y acabas de suponer que su potencia es racional, que es lo que buscabas.
  • Segundo caso: Al contrario del primer caso, supón que $\sqrt{2}^\sqrt{2}$ es irracional. Entonces tomas como números $a=\sqrt{2}^\sqrt{2}$ y $b=\sqrt{2}$, ambos irracionales según estás suponiendo. Haciendo unas pocas cuentas de las que se explican en la ESO tienes $$a^b = \left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\,2} = 2,$$ resultado que ciertamente es racional.

Y ya está. Has mostrado que existen dos números con la propiedad deseada. Pero no sabes con seguridad cuáles son. No lo sabrás hasta que sepas si $\sqrt{2}^\sqrt{2}$ es racional o no.

Lo cierto es que se sabe que $\sqrt{2}^\sqrt{2}$ es irracional. Se ha demostrado por otros medios. Pero, ¿y si no se supiera? ¿Aún darías el teorema por cierto? Peor aún: y si no fuera posible demostrar que $\sqrt{2}^\sqrt{2}$ es racional ni que no lo es, según Gödel nos enseñó que podría ocurrir. ¿Aún lo darías por cierto?


Llega el constructivismo

Por la primera mitad del siglo XX aparecieron varias propuestas bastante radicales que pretendían cambiar la forma de funcionar de las matemáticas. La de más éxito fue el constructivismo. Afirma esta doctrina que una demostración solo debe ser tenida como válida si incluye una construcción. En otras palabras, solo debes creer que existe un español que paga sus impuestos si te lo presentan. Y solo debes creer que existen dos números irracionales, $a$ y $b$, tales que $a^b$ es racional, si te dicen concreta y exactamente cuáles son esos números.

Hay una ley básica de la lógica que se conoce aún hoy con un nombre con resonancias del Siglo de Oro: ley del tercio excluso. En lenguaje de este siglo, viene a decir que o una cosa es cierta o lo es su contraria y ya está. Queda excluida cualquier otra tercera posibilidad: tercio excluso. Un número dado es racional o es irracional. Los constructivistas no aceptan esta ley. Así, la demostración de arriba (esa sobre $\sqrt{2}$ y demás) no es válida para un constructivista, a no ser que se justifique cuál de los dos casos de la demostración es el bueno.

Aunque el constructivismo ha dejado su huella en la forma en que se practican las matemáticas, nunca ha llegado a ser la corriente principal. En las últimas décadas, ciertas formas de constructivismo han revivido gracias a la aparición de los ordenadores y de la ciencia teórica que los estudia. Y es que, en un cierto sentido, cualquier programa de ordenador es una demostración constructivista de un teorema. Pero esa es otra historia.

¡Eh! Teníamos un problema de ajedrez por resolver.


La ¿solución? al problema

Voy a discutir la solución (si es que lo es) al problema, así que esta es tu última oportunidad para analizarlo sin ayuda. Te repito el tablero:

Mate no constructivista

La idea del mate es 1.♔e6, preparando para 2.g8=♕++. No hay nada que puedan hacer las negras en su turno para huir del mate. ¿Nada? Quizá sí: ¡enrocar! Para que el enroque sea posible, ni el rey ni la torre pueden haberse movido desde el inicio. Estando la partida tan avanzada, no esperamos que sea ya posible el enroque. Pero, ¿por qué no?

Entra ahora Sherlock Holmes (que por eso el libro de Smullyan se llama como se llama): si las negras pueden enrocar, su último movimiento solo puede haber sido con el peón. Y no puede haber sido desde e6, porque eso supondría salir de una posición imposible de ataque al rey blanco. Si las negras pueden enrocar, su último movimiento tiene que haber sido e7-e5, y eso da a las blancas la posibilidad de comer al paso… y pergeñar un mate distinto, también en dos, que no te insultaré ya explicando.

Las dos jugadas que llevan al mate son distintas según las negras puedan o no enrocar. Y entonces, ¿hay o no hay mate en dos? Si estás pensando en la respuesta «lo hay, pero no sé seguro cuál es», te invito a que te presentes a un torneo de ajedrez y, en tu turno, proclames en voz alta: «estoy seguro de que puedo ganar esta partida, aunque no sé exactamente cómo».

Puedes argumentar que es un problema tramposo, que si la situación correspondiera a una partida real sabrías si el enroque es posible o no. Pero el problema es el que es. Míralo de esta manera: te sientas delante de un ordenador de uso público dispuesto a hacer tus tareas y te encuentras con que el anterior usuario ha dejado su partida contra el ordenador a medias. La situación es la del problema, no hay acceso a la historia de la partida y el ordenador está esperando tu jugada. ¿Puedes dar mate en dos?

Debes pronunciarte: en cuestiones de ajedrez, ¿te inclinas por el constructivismo o por el clasicismo?


Esta entrada participa en la Edición 5.8: Betty Scott del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog tocamates.

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