Lógica romántica y esdrújula

Abelardo: Moriría por ti, si tú me lo pidieras.
Belisaria: Yo nunca te pediré algo así.
Abelardo: Pues por eso.

Una escena romántica echada a perder por la lógica. Si sabemos con seguridad que Belisaria no lo va a pedir, decir «Si Belisaria lo pide, Abelardo morirá» es no decir nada.

  • Si la hierba es azul, Abelardo morirá.
  • Si $2+2=35$, Abelardo morirá.
  • Si $2+2=35$, tú eres el Papa Luna.

Todas estas afirmaciones son inútilmente válidas. Pero Belisaria no tenía una alternativa mejor:

Abelardo: Moriría por ti, si tú me lo pidieras.
Belisaria: Pues venga.
Abelardo: ¿Eh?

El Papa Luna
El Papa Luna. Tú, si la condición es falsa.

Hacia 1910, el estadounidense C. I. Lewis estaba incómodo con estas condicionales de mentirijillas. Pensó que la lógica, la filosofía, las matemáticas debían tener alguna forma de enunciar que una cosa necesariamente causa otra. Si el patio de mi casa (que es particular) no está cubierto, cuando llueve se moja (como los demás). Da igual que mi patio esté en el desierto de Atacama: si lloviera, se mojaría.

Hacía falta un lenguaje más rico. Lewis lo pintó así: $\Box(tal\rightarrow cual)$. El cuadradito indica necesidad: es necesario que $cual$ se cumpla si $tal$ se cumple; o bien, $tal$ es la causa de $cual$. En cambio, $\Diamond(tal\rightarrow cual)$ significa que está permitido que si $tal$ se cumple $cual$ también, que es posible pero no necesario.

Así nació la lógica modal. Desde entonces ha crecido y se ha reproducido. Hoy constituye un gran campo de estudio con aplicaciones en la filosofía y las ciencias de la computación.

Los filósofos usan, además del «es necesario que» y el «es posible que», otras modalidades (esa es la palabreja):

  • es bueno que,
  • es mi intención que,
  • es conocido que…

Si Abelardo quiere evitar que Belisaria rompa el encanto negando el antecedente, debe acompañar su afirmación con una modalidad adecuada:

Es mi promesa que: si tú me lo pidieras yo moriría.

Por cierto, que los filósofos muestran un dominio envidiable del lenguaje culto al bautizar a sus lógicas modales: lógica deóntica, lógica epistémica, lógica doxástica…

Pero a mí me interesa más la lógica temporal, aunque no sea esdrújula. Sus modalidades juegan con el tiempo. En esta lógica, el enunciado «$\Box$ me gustan los caracoles» dice que esa será mi afición en todos los momentos futuros. En cambio, «$\Diamond$ me gustan los caracoles» significa que en algún momento futuro tendré ese gusto.

La lógica temporal es parte de mi trabajo diario en ciencias de la computación. Déjame que intente un ejemplo. Piensa en un sistema de comunicaciones como el que gobierna Internet. Hay información yendo de acá para allá constanmente. Hay ordenadores manejando esa información, procesándola o reenviándola o contestándola. Las visicitudes de la red hacen que algunos mensajes se retrasen, que se corrompan, incluso que se pierdan. A pesar de toda esta complejidad, necesitamos estar seguros de que el sistema cumple su cometido en cualquier circunstancia.

Por ejemplo: queremos que cualquier información que se envíe a través de la red alcance su destino en algún momento. Y queremos que eso ocurra siempre, en cualquier circunstancia. Incluso si un mensaje se pierde por algún resquicio de la red debe haber algún mecanismo que lo recupere o lo reenvíe. Es decir:
$$\Box\,(\mbox{se envía información}\rightarrow\Diamond\mbox{ la información llega}).$$
Léase: en todo momento futuro se ha de cumplir que si alguien envía una información, en algún momento posterior la información llega a su destino.

«Pero eso es evidente», te oigo decir, «¿para eso tanta lógica temporal?» Hay dos clases de sistemas, los sencillos y los complejos, y ambos resultan ser complejos. Lo importante no es poder escribir esa propiedad sino demostrarla, en el sentido matemático de la palabra demostrar. Para eso, necesitamos tener el sistema de comunicaciones (o, más bien, un modelo simplificado) descrito en lenguaje matemático-lógico. Y necesitamos una lógica preparada para hacer deducciones y demostraciones. Si es posible, de manera automática. Eso es la lógica temporal. Y en eso estamos.


Créditos:

  • Retrato del Papa Luna (Benedicto XIII): por Henri Segur (Les papes en Avignon) [Dominio público], via Wikimedia Commons.

Esta entrada participa en la edición 6.2 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es La Aventura de la Ciencia.

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