Logaritmos y hechicería

Los logaritmos se usaron para simplificar los cálculos numéricos desde el siglo XVII —cuando los propuso John Napier y los impulsó Johannes Kepler— hasta más allá de la mitad del XX —cuando aparecieron las calculadoras de bolsillo—.

Conservo un librito que utilizó mi hermano en sus años de instituto. Está editado en 1968 por Bruño y su título es Tablas de Logaritmos y Trigonométricas. Son unas pocas páginas de instrucciones seguidas de más de 200 llenas de tablas de números. Libros como este eran necesarios en la cartera de un escolar y en la de un ingeniero. Hoy solo existen en las librerías de viejo, si acaso.

Hay en estos libros algo de la vida de entonces. Hay, más aún, algo de magia antigua…


¿Qué son los logaritmos?

Hay que aprender un poco antes de realizar hechizos. Empiezo despacio. Elevar un número al cuadrado es multiplicarlo por sí mismo: $$10^2=10\times10=100.$$ Elevarlo al cubo es multiplicarlo dos veces por sí mismo:
$$10^3=10\times10\times10=1000.$$ Y se puede elevar a un número cualquiera, digamos que al número $n$: $$10^n=\overbrace{10\times10\times\dots\times10}^{n\text{ veces}}=1\overbrace{00\dots0}^{n\text{ ceros}}.$$ Todo esto se puede hacer con cualquier otra base en vez de ese $10$, pero nos interesa el $10$.

Llegamos al primer truco: también tiene sentido elevar a números no enteros. Por ejemplo, $$10^{1{,}72}=52{,}48\dots$$ ¿Cómo? ¿$1{,}72$ veces? Bueno, no son artes oscuras, pero no es este el lugar para dar más explicaciones. Tendrás que aceptarlo. Los puntos suspensivos en $52{,}48\dots$ significan que hay más decimales; con frecuencia hay una infinidad de ellos. En adelante voy a omitir los puntos suspensivos, para no aburrir con tantos, pero muchas de las igualdades que van a aparecer son en realidad aproximaciones o redondeos.

Según mi libro de tablas $$\dots \qquad 100=10^2 \qquad 101=10^{2{,}004321} \qquad 102=10^{2{,}008600} \qquad \dots$$ Logaritmos llamamos a esos numeritos que aparecen al hombro del $10$. El logaritmo de $101$ es $2{,}004321$, etc. Para esto sirve el libro: dado un número, nos dice su logaritmo; dado un logaritmo, nos dice su número.

Parte de una tabla de logaritmos

Manual de hechicería

Ciertas operaciones son mucho más sencillas cuando los números están escritos como $10$ elevado a su logaritmo. La razón es que, según se enseña en Hogwarts, perdón, en la ESO: $$10^n\times10^m=10^{n+m}.$$ Esto vale para dos números cualesquiera, $n$ y $m$. No te dejes engañar por la apariencia sosa de esa igualdad; es magia: ¿que no sabes o no quieres multiplicar? No te preocupes, basta con sumar. Va un ejemplo.

El hechizo impresiona más con números grandes, pero para este ejemplo escogeré ejemplares inofensivos. Quiero calcular $172\times27$, pero he olvidado cómo se multiplica. Consultando mis tablas encuentro que $$172=10^{2{,}235528} \qquad \text{ y } \qquad 27=10^{1{,}431364}.$$ Así que: $$172\times27 = 10^{2{,}235528}\times10^{1{,}431364}.$$ Usando el hechizo, resulta que $$10^{2{,}235528}\times10^{1{,}431364} = 10^{2{,}235528+1{,}431364} = 10^{3{,}666892}.$$ Ahora, utilizando las tablas a la inversa, encuentro que $$10^{3{,}666892} = 4.644.$$ Ese es el resultado: $172\times27=4.644$. Los muggles tendrán que esforzarse en la multiplicación; quienes disponemos del libro de hechizos, solo necesitamos sumar.

Hay otros trucos que se estudian en la asignatura de Hechizos, perdón, de Matemáticas. Este, que permite elevar a un número solo multiplicando, lo voy a usar más abajo: $$\left(10^n\right)^m = 10^{n\times m}.$$

Con este truco, para calcular $3^8$, averiguo primero que $3=10^{0{,}477121}$ y luego hago: $$3^8 = \left(10^{0{,}477121}\right)^8 = 10^{0{,}477121\times8} = 10^{3{,}816968} = 6.561.$$ Lo que habrían sido muchas multiplicaciones del número $3$ se han convertido en una sola multiplicación por $8$, gracias a un par de consultas al libro. Lo puedes acompañar con unas palabras mágicas de tu elección; no son necesarias, pero queda mucho más espectacular, dónde va a parar.


Logaritmos en el banco Gringotts

Tomo este ejemplo del mismo libro. Dice:

¿En cuánto se convertirán $125.000$ pesetas colocadas a interés compuesto del $4$% durante $10$ años?

Como saben los duendes de Gringotts, el cálculo necesario es $125.000\times1{,}04^{10}$. ¡Hay que elevar a $10$! Habrá que usar magia.

  • Las tablas dicen que $$125.000=10^{5{,}096910} \qquad\text{ y }\qquad 1{,}04=10^{0{,}017033}.$$

  • El último truco permite calcular $$1{,}04^{10} = \left(10^{0{,}017033}\right)^{10} = 10^{0{,}017033\times10} = 10^{0{,}17033}.$$

  • Resumiendo: $$125.000\times1{,}04^{10} = 10^{5{,}096910}\times10^{0{,}17033}.$$

  • Ahora uso el primer truco y sumo: $$10^{5{,}096910}\times10^{0{,}17033} = 10^{5{,}096910+0{,}17033} = 10^{5{,}26724}.$$

  • Un último vistazo al libro dice que $$10^{5{,}26724} = 185.030{,}41.$$

Esas son las pesetas que conseguiríamos en $10$ años, sin contar los impuestos ni el rescate de Gringotts.


Esta entrada participa en la Edición 5.7: Alan Turing del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog El zombi de Schrödinger.

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