La amenaza de los inconmensurables (y IV): el río y las orillas

Ponte en la piel de un griego. No digo que te sometas a la Troika; me refiero a uno de aquellos contemporáneos de Pitágoras. Conocen los números de contar: $1$, $2$, $3$… Conocen las fracciones para representar partes o proporciones. Pero se encuentran con medidas exóticas, como aquella cuyo cuadrado es $2$, y no saben qué hacer con ellas.

Te recuerdo que esta es la cuarta parte de una serie sobre los inconmensurables, que empezó aquí, aquí y aquí. Hoy te contaré que un río queda definido por sus orillas, un hueco por sus paredes y un número por los que lo acorralan.

¿Cómo pueden enfrentarse a una medida como $\sqrt{2}$? Ni lo llaman número ni lo consideran tal. No saben si sumarlos y multiplicarlos es seguro. No saben qué hacer con proporciones en las que no aparecen números. Si, por ejemplo, tomas un triángulo de lados $1$, $1$ y $\sqrt{2}$ y haces zoom sobre él para ampliarlo $\sqrt{2}$ veces, obtienes otro de lados $\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$ y $2$. Dice el teorema de Tales que deben guardar las proporciones, es decir, que
$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Con esos entes desconocidos, ¿tiene sentido la igualdad? Pero es necesario que lo tenga: el teorema de Tales depende de las proporciones, como otros muchos teoremas que se usan en geometría, en astronomía, en agrimensura.

Para nosotros es fácil, bendecidos con 4.000 años de historia de las matemáticas (por decir una cifra redonda). Para nosotros todos son números y todos se pueden escribir con decimales. Para $\sqrt{2}$ hacen falta infinitos decimales; no podemos escribirlos todos, pero eso no nos asusta. Antaño era distinto. Evitaban cualquier cosa con olor a infinito; no tenían las cifras arábigas, ni el sistema de numeración posicional, menos aún con decimales. Y confiaban, además, a veces tercamente, en que todo estaba construido a partir del número entero.

Fue Eudoxo de Cnido, en el siglo IV a. C., quien halló una nueva teoría geométrica de la proporción que permitía hablar de magnitudes inconmensurables y salvaba el teorema de Tales y todo lo demás. A decir de los estudiosos, la teoría de Eudoxo fue el culmen de las matemáticas de la Antigüedad.

Más de 2.000 años después, en un contexto distinto, surge de nuevo la misma inquietud. En los siglos XIX y XX d. C. los matemáticos andaban preocupados por las bases lógicas de su ciencia (quizá lo recuerdes de esta entrada sobre lógica constructivista). Para esa fecha ya se llama números sin duda ni rubor a esos objetos, y se les adjetiva como reales. Pero su naturaleza precisa está aún sin resolver con la solidez necesaria. La solución viene esta vez del alemán Richard Dedekind y resulta no ser muy distinta de la de Eudoxo. Somos hijos de los hijos de Grecia.

Se trata, pues, de explicar qué son esos huecos que hay entre los números racionales. La idea es casi infantil: definir un hueco —desconocido— por sus orillas —conocidas—. ¿Conoces el estrecho de Bonifacio? Yo te lo explico: tiene al norte a Córcega y al sur a Cerdeña. ¿Sabes ese río que tiene a un lado a Estados Unidos y al otro a Méjico? Es el río Grande o río Bravo (depende de en qué lado vivas).

Río Grande en la frontera entre México y Estados Unidos
México, Estados Unidos y lo de en medio

Toma todos los números racionales —esto es, las fracciones— y sepáralos en dos conjuntos: al oeste, los números que multiplicados por sí mismos dan menos de 2; al este, los que dan más de 2. En medio de unos y otros, como sabemos de entradas anteriores, hay un hueco. Eso es la raíz de 2: el hueco o las orillas, como prefieras.

El hueco de la raíz de 2
Algunos habitantes de cada orilla

El mérito de Eudoxo y de Dedekind, cada uno a su modo, fue mostrar que esos huecos se pueden sumar, multiplicar y usar en proporciones. Y compararlos: podemos asegurar que $\sqrt{2}$ es menor que $\sqrt{3}$ porque está más al oeste, porque la orilla oeste de $\sqrt{3}$ incluye a la de $\sqrt{2}$ y se extiende más allá.

Es notable que esta construcción define los números reales usando solo los números racionales. Y los racionales son proporciones entre enteros. Los pitagóricos decidieron abandonar antes de la meta pero, a pesar de sus miedos y sus prejuicios, quizá finalmente tenían razón y todo es número. O no.


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