La amenaza de los inconmensurables (II): el metro de Tokio

¿Por qué inquietó tanto a la hermandad de Pitágoras el descubrimiento de los inconmensurables? Podemos hacer poco más que suponer. Eran muy celosos con algunos de sus secretos y la información que ha llegado hasta hoy —especialmente sobre el mismo Pitágoras— es poca y, a veces, dudosa. Supondremos, pues.

Te recuerdo que en la primera entrada de esta serie traté de convencerte de que existen magnitudes inconmensurables y de contarte qué significa esa palabreja. Y que la serie continúa aquí y aquí.

Los racionales son densos

Coge un trozo de línea recta, un segmento. Marca sus dos extremos. Al de la izquierda lo llamas $0$ y al de la derecha $1$. Marca ahora el punto que está justo en la mitad: el $1/2$. En cada una de las dos mitades que tienes ahora, marca su punto medio: son $1/4$ y $3/4$. Ahora tienes el segmento dividido en cuatro trozos. Sigue así, marcando mitades y mitades de mitades en todas las mitades.

Un segmento con algunas mitades marcadas.

Sigue haciéndolo una cantidad infinita de veces (basta con que lo imagines). El resultado es una nube de puntos que ocupa todo el segmento. Si quisieras marcar uno solo de esos puntos con un lápiz, no podrías: la mancha dejada en el papel cubriría no uno sino una infinidad de esos puntos. Da igual cuánto afiles el lápiz, da igual que su punta sea minúscula más allá incluso de lo que la física permite. Hay tantos puntos y tan juntos que nunca podrás pintar solo uno de los puntos. En matemáticas, un conjunto de puntos así se llama denso, palabra bastante gráfica. Si has visto cómo van los viajeros en el metro de Tokio, te haces una idea.

Empujadores en el metro de Tokio.

Y, sin embargo, sorprendentemente, quedan huecos. Si empujas, aún cabe uno más. Divide el segmento original en tres trozos iguales y marca $1/3$. Este es un punto nuevo, no es la mitad de ninguna mitad del segmento original. Este punto está tan agobiado entre sus compañeros de vagón que no puede ni respirar. Como antes, por pequeño que lo pintaras, cubrirías también de tinta a una infinidad de los otros. Solo tiene realmente hueco si reduces cada punto a su esencia matemática: sin ancho ni alto, con tamaño cero.

No solo hay que hacer sitio para $1/3$. También está $2/3$; y está $1/6$, que es un tercio de la mitad; y $1/9$, que es un tercio de un tercio; y $5/9$, y $4/27$. También quedan huecos para todas las quintas y séptimas partes. Etcétera. Una infinidad de nubes densas que se unen a las antiguas rellenando huecos que parecían no existir.

Igual que hemos llenado un segmento podemos llenar la recta entera, añadiendo puntos a izquierda y derecha, nuevos vagones igual de atestados. Entre todos esos puntos forman el conjunto de los números racionales. O las fracciones, o los quebrados; elige nombre.

Racionales e irracionales

Pitágoras y sus contemporáneos filósofos sabían estas cosas. No les pudo sorprender que también entre los racionales, aún siendo tan densamente densos, quedaran huecos. Hablo ahora, como sabes, de la medida de la diágonal de un cuadrado. Si el lado del cuadrado mide $1$, la diágonal mide $\sqrt{2}$ (la raíz cuadrada de $2$) que no es conmensurable con $1$, ni con ningún otro número racional. Solo es otro hueco en un conjunto denso y, sin embargo, pareció perturbar a los amigos de Pitágoras. En otra entrada de esta pequeña serie aventuraré un porqué.

Estos números, que no son racionales ni conmensurables con ellos, se llaman irracionales. La raíz de $2$ no es el único caso, claro: hay infinitos irracionales más.

Ya no te sorprenderá si te digo que los números irracionales también forman un conjunto denso. Pero quizá sí te sorprenda saber que hay más números irracionales que racionales. ¿Cómo es eso? ¿No son ambos infinitos? Pues sí. Pero (sin meternos en más líos) hay un sentido muy preciso en el que no todos los infinitos son iguales.

La pregunta

Ahora la pregunta solo puede ser… A ver, ¿cuál es la pregunta ahora? ¿Alguien? ¿Nadie? Seguro que sí: ¿quedan aún huecos entre los números reales?

Hay respuesta larga y corta. La larga empieza por «depende» y continúa por caminos y paisajes fascinantes que no exploraremos hoy, vaya por dios. La corta es «no, no hay más huecos». A los números racionales e irracionales, todos juntos, se los llama números reales, pero en ciertas ramas de las matemáticas es frecuente referirse a ellos como el continuo, palabra que deja poco hueco a la duda.

¿Entonces?

En resumen, no es tan sorprendente que entre los números racionales aún haya huecos. ¿Entonces? ¿Qué preocupaba a los pitagóricos? Solo podemos seguir suponiendo, pero seguramente tiene que ver con su visión del mundo, con su doctrina y, como no, con la condición humana. Y con la geometría y la música. Continuará.


Créditos:

  • Empujadores del metro de Tokio: tomada de aquí. Libre para uso no comercial, según el buscador de imágenes de Google.

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