El teorema de Tales y el iPad

El tiempo en que vivió Tales de Mileto era más de tablillas de barro que de tabletas táctiles. Sin embargo, una parte de la geometría clásica, particularmente el teorema de Tales, bien podría haber sido sugerida por el uso de la pantalla de una moderna tableta. Me explicaré.

Tengo una imagen en la pantalla de mi tableta. Una cualquiera: un terrible ogro, por ejemplo. Arrastrando un dedo, la muevo a un lado y otro, sin que deje de ser la misma. Usando dos dedos la giro y, haciendo pinza, cambio su tamaño. Y reconozco siempre la misma imagen, vista con más o menos zoom, más de cerca o más de lejos. Pero, si la he movido, girado y ampliado o reducido, ¿cómo puedo decir que es la misma?

El mismo ogro dos veces.
El mismo ogro dos veces. | DreamWorks

Tales eran las preguntas que se hizo Tales, hacia el siglo VI a. C. Fijó su atención en los triángulos, mejores objetos de estudio que los ogros. Además, cualquier polígono es descomponible en triángulos; y cualquier figura, ogros incluidos, es aproximadamente un polígono (más o menos complicado). Así, lo que Tales averiguara sobre los triángulos sería extensible a otras figuras. ¿Cuál es, entonces, la esencia de un triángulo, lo que permanece a pesar de las transformaciones? El teorema de Tales da respuestas —varias— a esta pregunta.

La respuesta que más me interesa es esta: aunque los lados cambian al hacer pinza, las proporciones entre ellos se mantienen. Si un triángulo tiene un lado que mide el doble que otro, después de hacer pinza ambos habrán crecido, o disminuido, pero seguirán siendo uno el doble del otro. En los dos triángulos del dibujo —que son el mismo— el lado $b$ es el doble de largo que el $a$, lo mismo que $B$ es el doble de largo que $A$. Se puede escribir $b/a=B/A=2$.

Dos triángulos que guardan las proporciones

Como decía, lo mismo vale para otras figuras. Si, en la imagen del ogro, la distancia entre las puntas de sus orejas es la cuarta parte de la distancia entre las puntas de sus dedos meñiques (es un decir), así ocurrirá en las dos versiones.

Y no solo afirmo que jugando en la pantalla de una tableta no se cambian las proporciones, sino que también es cierto lo recíproco: si dos triángulos guardan las mismas proporciones entre sus tres lados, entonces uno puede ser convertido en el otro sobre la pantalla usando uno y dos dedos.

Así que la esencia de un triángulo está en sus proporciones. Por eso la geometría griega se basó en ellas. Por eso son útiles las razones trigonométricas (seno, coseno…), que solo dependen de las proporciones. Por eso resultó tan turbador el descubrimiento de que la diagonal y el lado de un cuadrado no guardan ninguna proporción (ninguna expresable con números enteros, aunque ese es otro asunto).

El teorema de Tales dice más. Dice que estas cuatro cosas son todas equivalentes:

  • Un triángulo se puede obtener de otro con uno y dos dedos en la pantalla de una tableta.

  • Los lados de esos triángulos guardan entre ellos las mismas proporciones (lo dicho).

  • Los dos triángulos son uno una copia a escala del otro. Es decir, si $A$ es una vez y media $a$, entonces $B$ es también una vez y media $b$, y lo mismo los lados terceros. Se dice que los triángulos están en escala de 3 a 2 y se puede escribir $A/a=B/b=3/2$.

  • Los tres ángulos de un triángulo son iguales a los tres del otro. Así es: los ángulos no cambian al hacer pinza con los dedos.

Para ser bien correctos, como debemos, es necesaria una nota sobre la simetría. Dos triángulos que sean uno simétrico al otro —que uno sea como la imagen del otro reflejada en un espejo— tienen sus tres lados iguales y sus tres ángulos iguales. Sin embargo, no se pueden transformar el uno en el otro moviendo uno o dos dedos sobre la pantalla de una tableta. Los programas de dibujo no demasiado básicos suelen permitir voltear una imagen, que es, justamente, el ingrediente que nos falta.

Dos triángulos simétricos

No entraré más en ello, pero debe quedar dicho y aceptado que esas cuatro propiedades de arriba solo son equivalentes, genuinamente y con todas sus consecuencias, si las simetrías y los volteos se tienen en cuenta de alguna manera. Fin de la nota.

Con frecuencia el teorema de Tales se enuncia sobre una figura como esta:

Dos triángulos semejantes superpuestos

Los dos triángulos aparecen un tanto camuflados: uno es el que tiene como vértices $A$, $B$ y $C$ y el otro $A$, $B’$ y $C’$. Coinciden en un vértice y dos lados, y los terceros lados son paralelos. (Y la versión de Les Luthiers requiere tres o más paralelas: véase aquí.) Esta forma de verlo, equivalente a la contada, es muy útil en geometría, pero esconde el hecho fundamental de que el teorema de Tales habla sobre el iPad.

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