El pescado y las series infinitas

Hay pescado al horno para cenar. Somos tres comensales y es difícil hacer de un pescado tres partes iguales. Empezamos separando sus cuatro lomos, prácticamente iguales: un lomo para cada comensal y queda uno por repartir. Sigue siendo difícil dividir el cuarto lomo en tres trozos iguales, pero dividir por la mitad, dos veces seguidas, es más fácil. Así que partimos el lomo sobrante en cuatro trozos iguales: uno para cada comensal y sobra uno. Dividimos igualmente el trozo sobrante en cuatro minitrozos: uno para cada comensal y sobra un minitrozo. Y así. La parte sobrante es cada vez más pequeña y, si repitiéramos el proceso una cantidad infinita de veces, no quedaría nada. Y cada comensal recibiría la misma ración: un tercio del pescado.

Resumiendo: para conseguir un tercio, se puede tomar un cuarto, añadir un cuarto de un cuarto, y un cuarto de un cuarto de un cuarto, y… En símbolos:
$$\frac{1}{3} = \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{4\cdot4} \,+\, \frac{1}{4\cdot4\cdot4} \,+\, \cdots$$
Un matemático como dios manda no podrá evitar dar el último paso y escribir:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4^n} = \frac{1}{3}.$$
Tampoco debemos evitar dar otro último paso y hacer un dibujito:

Cómo dividir un cuadrado en tres partes iguales
Cómo dividir un pescado al horno cuadrado en tres raciones iguales.

El caso es que esta propuesta de repartir el pescado salió espontáneamente de la boca de un niño de nueve años, sin que nadie le preguntara ni le diera ninguna pista. La intuición detrás de ese razonamiento estaba a su alcance, como no me cabe duda de que lo está para cualquier adulto. El tema de las series infinitas (que así se llaman estas sumas con infinitos sumandos) es propio de la educación superior y suele estar ausente incluso del bachillerato. Es un tema que en manos de expertos ha adquirido profundidad, complejidad y utilidad notables. Sin embargo, la idea subyacente puede ser comprendida y disfrutada por cualquiera.

Entonces, cuando alguien dice aquello de «a mí es que se me dan muy mal las matemáticas», ¿a qué se refiere?

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