Diez frases para jugar con la autorreferencia

Vamos a jugar con frases que hablan de ellas mismas. Como estas:

  • Esta frase habla de sí misma.
  • Esta frase no habla de sí misma.
  • Esta frase es verde.

Da igual que una lo niegue y otra salga por peteneras. Cada una de esas frases dice algo acerca de ella misma. Las tres son autorreferentes. Esa es la palabreja.

No siempre esta claro si una frase habla o no de sí misma. Mira esta:

  • Algunas frases se hentienden aunque tengan faltas de ortografia.

Es una frase que se entiende, aunque tiene faltas de ortografía. Así que habla, entre otras, de sí misma. Corrige las dos faltas y eliminarás la autorreferencia. Mira esta otra:

  • Las frases que hablan de sí mismas son una estupidez.

¿Es autorreferente? Esa frase afirma algo acerca de las frases que hablan de sí mismas. Así, si suponemos que habla de sí misma, entonces sí, afirma algo acerca de sí misma (y de otras). Pero si suponemos que no habla de sí misma, entonces no habla de sí misma. A veces es mejor no preguntar. Y peor es esta:

  • Las frases que no hablan de sí mismas son una estupidez.

Esta afirma algo acerca de las frases que no hablan de sí mismas. Así que si suponemos que no habla de sí misma, entonces habla de sí misma. Y viceversa. Paradoja.

Hay casos más sutiles. ¿Dirías que esta frase habla de sí misma?

  • Por favor, escribe la palabra que falta en el _______.

Más abajo te pondré a prueba dándote diez frases para pensar. Antes, me pongo un poco serio.


La autorreferencia en las matemáticas

Quería explicarte, solo de pasada, que estos juegos tienen importancia en matemáticas. Un genio austríaco llamado Kurt Gödel mostró a principios del siglo XX que las matemáticas, en su lenguaje, son capaces de decir cosas autorreferentes como esta:

  • Esta afirmación no es demostrable matemáticamente.

En el lenguaje de símbolos de las matemáticas podemos escribir $1+1=2$. También podemos escribir mentiras como $1+1=37$. Otras afirmaciones, como estas:

  • 5 es un número primo
  • Si un cierto número es par, al sumarle uno sale un impar

son más fáciles de escribir con ayuda del español, pero también se pueden escribir usando solo sumas, multiplicaciones y los símbolos de la lógica. Generalmente, no esperamos que otras frases como

  • La palabra geometría procede del griego

se puedan escribir matemáticamente (aunque lee más abajo acerca de Llull y Leibniz).

Lo que descubrió Gödel es que la afirmación autorreferente mostrada arriba se puede expresar en el lenguaje puro de las matemáticas y la lógica. Lo que me interesa, entonces, es saber si esa afirmación es cierta.

Ocurre que no puede ser falsa. Si fuera falsa, lo que dice sería mentira. Dice que ella misma no es demostrable: eso sería mentira. Así que sí sería demostrable matemáticamente… pero falsa. Demostrar falsedades es mala cosa. Afortunadamente, sabemos que esto no puede ocurrir.

Así que la afirmación tiene que ser cierta. Y lo que dice —que no es demostrable— es verdad. Es una afirmación verdadera que las matemáticas pueden enunciar pero no demostrar. Insisto: hay verdades matemáticas que no se pueden demostrar. No es que hayamos buscado la demostración poco, o con poco acierto: es que no existe.

Y la cosa no tiene remedio. El problema no solo afecta a afirmaciones extravagantes como la de arriba. Se conocen hoy muchas otras verdades matemáticas relevantes que no tienen demostración.

Como todo se vende ahora personalizado o se puede tunear, queda la esperanza de que seamos capaces de modificar las matemáticas —signifique eso lo que signifique— para obligarlas a comportarse. Pero Gödel nos enseñó que cualesquiera matemáticas que quieran ser medio interesantes contienen autorreferencias y sufren los mismos problemas.


Deseos denegados

  1. Ramón Llull, mallorquín, fue quizá el primero, en el siglo XIII, en pensar en una máquina lógica capaz de demostrar todas las verdades. No creía que hubiese diferencia entre las verdades religiosas y las de la lógica, y soñó que su máquina se usaría para convencer a los musulmanes de la verdad indiscutible de la fe cristiana, la única lógicamente sostenible, según él.

  2. Gottfried Leibniz, alemán, vislumbró en el siglo XVII un método lógico infalible para resolver cualquier incertidumbre: «Cuando haya disputas entre personas, podremos decir simplemente ‘Calculemos’, sin más, para ver quién tiene razón.»

  3. David Hilbert, alemán, propuso a principios del siglo XX como tarea para él y quienes quisieran seguirle (que fueron muchos) la de encontrar una formulación de las matemáticas correcta e incuestionable en la que todas las verdades matemáticas tuvieran demostración.

Llull, Leibniz, Hilbert y Gödel
Este pie de foto solo se ajusta a la verdad si está bajo una figura representando a Llull, Leibniz, Hilbert y Gödel. | Dominio público

Tres soñadores —entre muchos otros— con tres sueños parecidos que confiaban, a veces sin ni siquiera decirlo explícitamente, en que todo lo verdadero podría ser demostrado. Tres deseos denegados esta vez por el genio. Por el genio de Gödel. Y porque las matemáticas, en su verborrea, se empeñan en decir cosas autorreferentes.


A jugar

Poner las frases en listas da nuevas posibilidades. Es tu turno. Quiero que me digas si cada una de las afirmaciones de esta lista son autorreferentes. No me importa si son ciertas, ni si tienen sentido: solo si son autorreferentes.

  1. Esto no es una frase, es una iglesia románica.
  2. La segunda frase de la lista es verde.
  3. La primera frase que no es autorreferente es blanca.
  4. La primera frase que acaba en consonante es azul.
  5. La primera frase que acaba en consonante es gris.
  6. Esto no es frase una, porque gramaticales no respeta reglas las.
  7. Algunas frases hablan de la frase 8.
  8. Una frase de esta lista no me gusta.
  9. A la frase 8 no le gustan las frases a las que se refiere la 7.
  10. No hay ninguna frase en esta lista que hable de todas las demás.

Admito que hay algunas discutibles. Te propongo que hagas tu cuenta de las frases autorreferentes que hay en la lista y pongas el número en un comentario. Simplemente un número.

Bueno, si quieres escribir más, encantado. No te privaré incluso del placer de ser autorrererente: háblame de ti.


Esta entrada participa en la Edición 5.9: Enma Castelnuovo del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Que no te aburran las M@tes.

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