Cómo ganar cervezas al cara o cruz

Seguro que has oído hablar del efecto mariposa: que una mariposa decida aletear supone un cambio inmediato minúsculo, pero puede ser diferencia suficiente para que, algún tiempo después, un huracán se forme en el otro lado del mundo.

Estas frases las tomo de Los misterios de los números, de Marcus du Sautoy (libro que, por cierto, está solo regular):

Con ayuda de sus amigos ingenieros, Diaconis construyó una máquina mecánica lanzadora de monedas, que podía reproducir una y otra vez las mismas condiciones a la hora de lanzar la moneda. […] Diaconis descubrió que cada vez que repetía el experimento […] la moneda caía siempre del mismo lado. Entonces se entrenó para ser capaz de impulsar siempre la moneda de la misma manera, con su propia mano, hasta conseguir que saliera cara diez veces seguidas. Así que ¡cuidado con jugarse algo a cara o cruz con Persi Diaconis o con gente como él!

Así que el lanzamiento de una moneda no es sensible a cambios muy pequeños, como aleteos lejanos.

Moneda al aire
Diaconis sabe lo que va a salir. | imelenchon en morguefile

Pero Diaconis y sus amigos cuentan también algo más llamativo: que la probabilidad de que salga cara o cruz no tiene por qué ser la misma. Hablo ahora de lanzamientos descuidados, sin calcular la fuerza ni planificar la recogida. Lo que llamarías al azar. (Se entiende, por cierto, que la moneda aterriza en la mano y no rebota.) Pues resulta que hay una probabilidad ligeramente mayor de que el lado que partió hacia arriba aterrice también hacia arriba. ¿Cómo es eso?

El artículo donde explican sus experimentos y sus conclusiones está aquí. Es bastante técnico, pero si expresiones como «momento angular» y «esfera de vectores unidad» no te asustan, ahí están todas las explicaciones.

Proponen estos expertos que, para empezar, te imagines una moneda golpeada hacia arriba justo en su centro. La moneda sube y baja sin darse la vuelta, como las pizzas en los anuncios. Si la moneda parte con la cara hacia arriba, cae con la cara hacia arriba.

Pizza volando
Pido cara. | A. Mouratidis en Flickr (CC BY 2.0)

Si en vez de golpearla en el centro exacto te desvías un poco —muy poco— la moneda se balancea por el aire sin llegar a voltearse, y sigue saliendo cara siempre, si con cara hacia arriba despegó.

Los vuelos de las monedas no suelen ser así de tramposos. Pero tampoco son un giro perfecto sobre un eje horizontal. Siempre tienen una pequeña componente de vuelo de pizza y eso crea la asimetría en los resultados. Según sus estimaciones, la desviación es de alrededor de un 1%: de cada 100 lanzamientos, unos 51 caen por la misma cara que salen.

Los cálculos teóricos están bien, pero las teorías como dios manda deben ser confirmadas experimentalmente. En la Universidad de California en la ciudad de Berkeley estimaron que con 40.000 lanzamientos podrían sacar conclusiones estadísticas válidas. Y se pusieron manos a la obra.

Dos estudiantes dedicaron una hora al día durante un semestre a lanzar monedas al aire y anotar los resultados. Se cuenta aquí. Temo que este párrafo arruine todos mis esfuerzos por destacar la creatividad en las matemáticas (especialmente en esta entrada). Pero así son las cosas. También a van Gogh se le acabaría el amarillo y tendría que dejar sus girasoles a medias para regatear con algún comerciante.

Nos cuentan los de Berkeley que, tras 40.000 lanzamientos y una cantidad indeterminada de bostezos, la moneda cayó hacia arriba por el mismo lado por el que despegó un total de 20.245 veces. Eso es un poco más de la mitad, consistente con el 1% previsto por Diaconis.

Otra forma de jugar al cara o cruz es colocar la moneda de pie en la mesa y hacerla girar sobre su borde. En este caso, la construcción de la moneda influye —mucho— en el resultado: el distinto grabado de cada lado hace que el centro de gravedad no esté en el centro exacto de la moneda, y la forma del borde puede hacerla caer más fácilmente hacia un lado. Se discute aquí.

Moneda girando en la mesa
Ahora pido cruz. | Tomada de aquí.

El experimento es mucho más llevadero en este caso. He cogido una moneda española de 2 euros y la he hecho girar 50 veces sobre la mesa: 12 caras, 38 cruces.

Ya sé lo que estás pensando, pero está feo ganar cervezas a los amigos con trucos así.


Esta entrada participa en la edición LVIII del Carnaval de la Física, cuyo blog anfitrión es MasScience.

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