Category Archives: divulgación

Colón, el pirata

También la trigonometría llevó a Colón a América. La necesidad de orientarse en altamar o en tierras ignotas impulsa el desarrollo de la astronomía. Y la astronomía da vida y alimento a las matemáticas. Ocurrió en las culturas mediterráneas, en las asiáticas, en el Renacimiento…

En Toledo se editaron las mejores tablas de efemérides astronómicas durante toda la Edad Media. Primero, en el Toledo árabe del siglo XI, las llamadas tablas toledanas; luego, las tablas alfonsíes, promovidas por Alfonso X. […] Sigue leyendo >

¿Hay un mensaje oculto en el número pi?

¿Hay un mensaje oculto en las infinitas cifras decimales del número $\pi$? ¡Menuda pregunta! ¿Hay mensajes ocultos en las medidas de la Gran Pirámide? ¿Y en la disposición casual de los posos del café? Sin embargo, quien lo propone es Carl Sagan, atacante tenaz de lo paranormal y del ocultismo. Quizá deba hacer la pregunta de otra manera.

Fantaseemos. Imagina que sabes crear universos en tu laboratorio de física. Imagina que sospechas que, en alguno de los universos que sabes crear, la inteligencia podría aparecer de forma espontánea. […] Sigue leyendo >

Lógica romántica y esdrújula

Abelardo: Moriría por ti, si tú me lo pidieras.
Belisaria: Yo nunca te pediré algo así.
Abelardo: Pues por eso.

Una escena romántica echada a perder por la lógica. Si sabemos con seguridad que Belisaria no lo va a pedir, decir «Si Belisaria lo pide, Abelardo morirá» es no decir nada.

  • Si la hierba es azul, Abelardo morirá.
  • Si $2+2=35$, Abelardo morirá.
  • Si $2+2=35$, tú eres el Papa Luna.

Todas estas afirmaciones son inútilmente válidas. […] Sigue leyendo >

Las paradojas acechan

Me parece que el último acertijo, Ahora que sé que tú no sabes, tiene carne para un cocido más. Esta entrada podrá enriquecerte si ya lo resolviste o ayudarte si se te resistió.

Propongo una situación parecida a la de entonces, pero no igual. Abelardo y Belisaria han recibido cada uno un número (entero y del cero en adelante). Nosotros no sabemos cuáles son. Sí sabemos, porque ha sido dicho en voz alta, que son dos números consecutivos. […] Sigue leyendo >

La amenaza de los inconmensurables (y IV): el río y las orillas

Ponte en la piel de un griego. No digo que te sometas a la Troika; me refiero a uno de aquellos contemporáneos de Pitágoras. Conocen los números de contar: $1$, $2$, $3$… Conocen las fracciones para representar partes o proporciones. Pero se encuentran con medidas exóticas, como aquella cuyo cuadrado es $2$, y no saben qué hacer con ellas.

Te recuerdo que esta es la cuarta parte de una serie sobre los inconmensurables, que empezó aquí, aquí y aquí. […] Sigue leyendo >

La amenaza de los inconmensurables (III): así somos

Se dice que Arquímedes corrió desnudo por las calles de Siracusa gritando eureka; que Galileo dejó caer dos piedras desde la Torre de Pisa para que llegaran a la vez al suelo; que a Newton le cayó la inspiración sentado bajo un manzano. Se dice todo esto pero, con historias tan antiguas y poco documentadas, es difícil saber.

Se dice también —y podría ser cierto— que algunos miembros de la secta de Pitágoras condujeron mar adentro, a la fuerza, a uno de sus compañeros, al que ya nadie vio volver. […] Sigue leyendo >

La amenaza de los inconmensurables (II): el metro de Tokio

¿Por qué inquietó tanto a la hermandad de Pitágoras el descubrimiento de los inconmensurables? Podemos hacer poco más que suponer. Eran muy celosos con algunos de sus secretos y la información que ha llegado hasta hoy —especialmente sobre el mismo Pitágoras— es poca y, a veces, dudosa. Supondremos, pues.

Te recuerdo que en la primera entrada de esta serie traté de convencerte de que existen magnitudes inconmensurables y de contarte qué significa esa palabreja. Y que la serie continúa aquí y aquí. […] Sigue leyendo >

La amenaza de los inconmensurables (I): demostraciones

No me puedes negar que tienen nombre de superhéroes:

«Primero fueron Los Vengadores. Después llegaron Los Increíbles. Ahora, por fin, están aquí Los Inconmensurables.»

Hoy solemos usar inconmensurable queriendo decir enorme, pero en geometría siempre ha tenido un sentido muy distinto.

Los Vengadores, los Increíbles y los inconmensurables.

 


Qué son

A Pitágoras y sus seguidores les gustaba pensar que todo es número. Y por número se referían a $1, 2, 3, 4\dots$, sin decimales. Números naturales o enteros positivos, diríamos hoy (recuerda la entrada Definiciones (malas) de número entero). […] Sigue leyendo >

Te equivocas (un diálogo nada platónico sobre el platonismo)

Abelardo: Te equivocas, Belisaria. Mira por ejemplo la Luna: su forma en el cielo es un círculo perfecto.

Belisaria: Te equivocas tú, Abelardo: está ensanchada por su ecuador, como le pasa a la Tierra.

A: ¿Como que ensanchada?

B: Sí. Es como una milésima más ancha que alta.

A: ¡Una milésima! Ahí lo tienes: eso es imposible de ver.

B: No importa si tus ojos lo ven o no: no es un círculo perfecto. Además, tiene cráteres y otros accidentes. […] Sigue leyendo >

Cómo ganar cervezas al cara o cruz

Seguro que has oído hablar del efecto mariposa: que una mariposa decida aletear supone un cambio inmediato minúsculo, pero puede ser diferencia suficiente para que, algún tiempo después, un huracán se forme en el otro lado del mundo.

Estas frases las tomo de Los misterios de los números, de Marcus du Sautoy (libro que, por cierto, está solo regular):

Con ayuda de sus amigos ingenieros, Diaconis construyó una máquina mecánica lanzadora de monedas, que podía reproducir una y otra vez las mismas condiciones a la hora de lanzar la moneda.

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Diez frases para jugar con la autorreferencia

Vamos a jugar con frases que hablan de ellas mismas. Como estas:

  • Esta frase habla de sí misma.
  • Esta frase no habla de sí misma.
  • Esta frase es verde.

Da igual que una lo niegue y otra salga por peteneras. Cada una de esas frases dice algo acerca de ella misma. Las tres son autorreferentes. Esa es la palabreja.

No siempre esta claro si una frase habla o no de sí misma. Mira esta:

  • Algunas frases se hentienden aunque tengan faltas de ortografia.
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Mate no constructivista en dos jugadas

El enunciado es «blancas juegan y dan mate no constructivista en dos»:

Mate no constructivista

Ahí queda como reto, de momento.

El problema, un prodigio de composición, está tomado de The Chess Mysteries of Sherlock Holmes, de Raymond Smullyan. Un libro impresionante. Tiene segunda parte, y ambas están traducidas al español (están aquí y aquí, por si te interesa).


Matemáticas en crisis

Empezaré informalmente: Tienes interés en averiguar si existe alguien en España que pague todos sus impuestos. […] Sigue leyendo >

Aprende a asombrarte, no aprendas fórmulas

Memorizar las fórmulas para la longitud de una circunferencia y para el área de un círculo es inútil y aburrido. Pero entenderlas y apreciarlas es necesario y debe ser fascinante. Por si tienes la suerte de no recordarlas, las fórmulas en cuestión son estas: $$\ell=2\pi r \qquad\qquad A=\pi r^2$$ Las discutiré por separado.


La longitud de la circunferencia y sus formulitas

El número $\pi$ es la cantidad de diámetros que caben en una circunferencia. Lo contaba yo en la entrada Seis ventajas de medir $\pi$ a la egipcia. […] Sigue leyendo >

Seis ventajas de medir pi a la egipcia

¿Cómo pudieron los antiguos egipcios medir el valor del número $\pi$? Como sabemos, tenían comunicación directa y fluida con varias civilizaciones extraterrestres. Pero, ¿y si hubieran querido medirlo por sí mismos? Petr Beckmann, en las primeras páginas de su libro A History of $\pi$, los imagina dibujando en la orilla arenosa del Nilo. La idea es sencilla:

  1. Clava un palo en la arena, en lo que será el centro de una circunferencia. Ata una cuerda a él, con otro palo en el otro extremo.
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Logaritmos y hechicería

Los logaritmos se usaron para simplificar los cálculos numéricos desde el siglo XVII —cuando los propuso John Napier y los impulsó Johannes Kepler— hasta más allá de la mitad del XX —cuando aparecieron las calculadoras de bolsillo—.

Conservo un librito que utilizó mi hermano en sus años de instituto. Está editado en 1968 por Bruño y su título es Tablas de Logaritmos y Trigonométricas. Son unas pocas páginas de instrucciones seguidas de más de 200 llenas de tablas de números. […] Sigue leyendo >

El juego de la escoba y los divisores de 12

¿Recuerdas el juego de la escoba? Se juega con una baraja española, de 40 cartas. Hay unas reglas (y puedes echar una partida), por ejemplo, aquí: www.ludoteka.com/escoba.html. Basta saber lo siguiente: Para empezar el juego, se colocan cuatro cartas sobre la mesa; luego se reparten tres cartas a cada jugador. Por turnos, cada jugador juega una de sus cartas y se deshace de ella. Cuando todos los jugadores quedan sin cartas se reparten otras tres a cada uno. […] Sigue leyendo >

El teorema de Tales y el iPad

El tiempo en que vivió Tales de Mileto era más de tablillas de barro que de tabletas táctiles. Sin embargo, una parte de la geometría clásica, particularmente el teorema de Tales, bien podría haber sido sugerida por el uso de la pantalla de una moderna tableta. Me explicaré.

Tengo una imagen en la pantalla de mi tableta. Una cualquiera: un terrible ogro, por ejemplo. Arrastrando un dedo, la muevo a un lado y otro, sin que deje de ser la misma. […] Sigue leyendo >

Tres lógicos entran a un bar

Va un chiste. Aparece en varios sitios de internet, pero la referencia original parece ser de Adrián Paenza —el mismísimo premio Lilavati 2014— en la web de Página/12 (aquí). Lo reproduzco según su redacción:

Tres lógicos entran a un bar. El barman se acerca y les pregunta: «¿Todos quieren cerveza?». El primer lógico mira al barman y le dice: «No sé». El segundo lógico también lo mira y le dice: «No sé». Finalmente, el tercer lógico mira al barman también y le dice: «Sí».

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Las fechas que etiquetan los días

Santa Teresa de Jesús murió en Alba de Tormes en la noche del 4 al 15 de octubre de 1582. Sí, del 4 al 15; no es una errata, ni un milagro de la santa. Porque justo esa noche en España se dejó de usar oficialmente el calendario juliano y se empezó a usar el gregoriano, y el cambio requería un ajuste de 10 días. Las fechas del 5 al 14 de octubre de 1582 no existieron en España. […] Sigue leyendo >

El pescado y las series infinitas

Hay pescado al horno para cenar. Somos tres comensales y es difícil hacer de un pescado tres partes iguales. Empezamos separando sus cuatro lomos, prácticamente iguales: un lomo para cada comensal y queda uno por repartir. Sigue siendo difícil dividir el cuarto lomo en tres trozos iguales, pero dividir por la mitad, dos veces seguidas, es más fácil. Así que partimos el lomo sobrante en cuatro trozos iguales: uno para cada comensal y sobra uno. Dividimos igualmente el trozo sobrante en cuatro minitrozos: uno para cada comensal y sobra un minitrozo. […] Sigue leyendo >

Necesitamos fórmulas

No comparto esa máxima según la cual los libros de divulgación y las fórmulas son incompatibles. Vamos a ver1:

Si quieres multiplicar 7 más la raíz de la raíz de 10 por 8 más la raíz de la raíz de 12, entonces el 7 se multiplica por el 8, y la raíz de la raíz de 10 se multiplica por la raíz de la raíz de 12, y el 7 por la raíz de la raíz de 12, y el 8 por la raíz de la raíz de 10 produciendo el entero 56 más ocho raíces de la raíz de 10 más siete raíces de la raíz de 12 más una raíz de la raíz de 120.

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