Aprende a asombrarte, no aprendas fórmulas

Memorizar las fórmulas para la longitud de una circunferencia y para el área de un círculo es inútil y aburrido. Pero entenderlas y apreciarlas es necesario y debe ser fascinante. Por si tienes la suerte de no recordarlas, las fórmulas en cuestión son estas: $$\ell=2\pi r \qquad\qquad A=\pi r^2$$ Las discutiré por separado.


La longitud de la circunferencia y sus formulitas

El número $\pi$ es la cantidad de diámetros que caben en una circunferencia. Lo contaba yo en la entrada Seis ventajas de medir $\pi$ a la egipcia. Este es un concepto fundamental. Si lo quieres en símbolos, abreviando la longitud de la circunferencia como $\ell$ y la del radio como $r$ (y el diámetro, por tanto, $2r$), es $$\pi=\frac{\text{longitud de la circunferencia}}{\text{longitud del diámetro}}=\frac{\ell}{\,2r\,}.$$

Insisto por si lo has leído deprisa: conocer y comprender el sencillo concepto de $\pi$ es fundamental. Después, las fórmulas —si tuvieras necesidad de ellas— salen solas: en una circunferencia caben $\pi$ diámetros, es decir, $\ell=\pi\cdot 2r$, o bien $\ell=2\pi r$.

Hay algo que me desconcierta. En las columnas del Teatro Romano de Mérida, redondas ellas, es difícil medir la anchura (el diámetro). Es más fácil medir la circunferencia con una cinta métrica. Despúes puedes calcular el diámetro usando $2r=\ell/\pi$ (que se deduce también de la definición de $\pi$). Lo que me desconcierta es la diferencia de trato que se da a estas fórmulas: la que permite calcular la circunferencia si uno sabe el radio ($\ell=2\pi r$) aparece en todos los libros, pero la que permite calcular el radio si uno sabe la circunferencia ($r=\ell/2\pi$) no aparece nunca. No aprendamos ninguna de las dos.

Detalle del Teatro Romano de Mérida.
Detalle del Teatro Romano de Mérida. | Héctor Gómez Herrero (CC)

Sorpresa en el área del círculo

Medir longitudes es fácil. Medir directamente áreas es complicado. Por ejemplo, ¿cómo podrías medir el área de un círculo, ya sea en centímetros cuadrados o en radios al cuadrado? ¿O el área de un triángulo, incluso? No digo calcularlo, digo medirlo directamente, como mides una longitud con una regla.

Por eso es tan útil —esta vez sí— disponer de esta fórmula para calcular el área $A$ de un círculo: $A=\pi r^2$. ¿No es fabulosa? Si seguimos usando el radio como medida, y nos preguntamos cuántos cuadrados de lado $r$ caben en un círculo, la respuesta es… $\pi$. ¡A ver, ese redoble de tambores! No hay ninguna razón a priori para que $\pi$ aparezca ahora: la definición de $\pi$ habla de longitudes, no de áreas. Y no es $\pi+7$, ni $\pi^3$: el área de un círculo es exactamente $\pi$.

Sí, bueno, no a todos nos emociona lo mismo. A mí la Fórmula 1 me deja frío, ya ves. Pero es, al menos, una pequeña sorpresa de la que cualquiera puede disfrutar. Y esta sorpresa prepara para saber disfrutar de otras mayores. Qué decir de esto que demostró Euler en el siglo XVIII: $$\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\dots$$ Es decir, tomas los números naturales —todos ellos—, elevas cada uno al cuadrado, haces sus inversos, lo sumas todo y da… $\pi^2/6$. Asombroso.


Una demostración

La explicación de un truco de magia tiene a veces el efecto de aumentar la fascinación por el mago; pero, otras veces, la magia desaparece tristemente y queda solo el truco. Lo mismo ocurre con las demostraciones en matemáticas. Te voy a demostrar que el área del círculo es $\pi$ (medido en radios al cuadrado). Tú me dirás si te fascina o te roba la magia. No es una demostración rigurosa, pero es convincente. Mira esta figura:

Área del círculo por gajos.

El círculo se ha dividido en gajos y los gajos se han dispuesto formando casi un rectángulo. Cuanto más finos hagas los gajos, más se parece eso a un rectángulo. Puedes imaginar gajos infinitamente delgados formando un rectángulo exacto. El rectángulo es tan alto como el radio del círculo; su base es la mitad de la circunferencia, es decir, $\pi$ radios. Así, el área del rectángulo, que es también la del círculo, es $\pi r\cdot r = \pi r^2$.

¿Te gusta? ¿Te fascina? ¿Te deja frío? ¿Te molesta?

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