La amenaza de los inconmensurables (I): demostraciones

No me puedes negar que tienen nombre de superhéroes:

«Primero fueron Los Vengadores. Después llegaron Los Increíbles. Ahora, por fin, están aquí Los Inconmensurables.»

Hoy solemos usar inconmensurable queriendo decir enorme, pero en geometría siempre ha tenido un sentido muy distinto.

Los Vengadores, los Increíbles y los inconmensurables.

 


Qué son

A Pitágoras y sus seguidores les gustaba pensar que todo es número. Y por número se referían a $1, 2, 3, 4\dots$, sin decimales. Números naturales o enteros positivos, diríamos hoy (recuerda la entrada Definiciones (malas) de número entero). Pensaban que estos números de contar son suficientes también para medir. Claro que un objeto puede medir $3{,}45$ metros, con decimales. Pero eso es porque has elegido una unidad de medida que no es adecuada: utiliza centímetros y tendrás $345$.

Para una sola medida la cosa es fácil. Bien visto, cualquier objeto mide $1$, si tomas como unidad… el mismo tamaño del objeto. De Perogrullo, sí. Para que sea menos aburrido hay que tomar dos objetos. ¿Podemos encontrar siempre una unidad de medida adecuada, que quepa una cantidad exacta de veces en cada objeto? Pitágoras quería que sí; la verdad quiso que no. Por ejemplo, el lado y la diagonal de un cuadrado son inconmensurables, que significa (la etimología no engaña) que no se pueden medir a la vez, con la misma unidad.

¿Cómo podemos estar seguros de que ninguna unidad de medida sirve para el lado y la diagonal a la vez? Hace falta una demostración.

Esta entrada tendrá continuación, en la que indagaré por qué la existencia de magnitudes inconmensurables fue tomada como una amenaza por los pitagóricos y por qué, en realidad, no era para tanto. (La continuación está aquí, aquí y aquí.) Pero hoy quiero convencerte, por tres medios distintos, de que Los Inconmensurables están entre nosotros.


Una demostración doblando papel

Se conocen montones de demostraciones más o menos distintas. El sitio Cut the Knot tiene en esta página una colección de 27 de ellas, algunas con subvariantes. La demostración particular que te voy a explicar se propuso en The Book of Numbers. Vamos a ello.

Toma un trozo de papel cuadrado, dóblalo y desdóblalo para que se marque la diagonal. Vamos a suponer que la diagonal y el lado son conmensurables, a ver a dónde llegamos. Por ejemplo, que el lado mide 12 y la diagonal 17 (esto no está muy lejos de la verdad). Pero mejor, para ser más generales, digamos que el lado mide $l$ y la diagonal $d$. Dicho otra vez: supón que has encontrado un segmento (al que bautizo como $u$) que cabe exactamente $l$ veces en el lado y exactamente $d$ veces en la diagonal.

Un cuadrado con su diagonal.

 

Voy a mostrarte cómo encontrar un cuadrado más pequeño que este y también medible con $u$. Haz otra doblez como muestra el dibujo siguiente, de forma que un lado tapa parte de la diagonal.

Dobla el lado sobre la diagonal.

 

Fíjate en el triángulo que queda en la parte de abajo: es la mitad del cuadrado que buscamos. En la siguiente figura lo muestro entero y sombreado en gris. Su lado es lo que queda libre de la diagonal $d$ tras ponerle encima un lado $l$. Así, el lado nuevo, el gris, mide $d-l$ unidades ($17-12=5$, si ese fuera el caso). Y la diagonal gris es lo que queda del lado antiguo después de que la doblez le haya restado el lado nuevo: $l-(d-l)$. Las fórmulas dan igual, lo importante es que son cantidades enteras, porque $l$ y $d$ lo son. Una vez más: tanto el lado como la diagonal del cuadrado gris contienen una cantidad entera de veces al segmento $u$.

Un nuevo cuadrado, de medidas conmensurables con el original.

 

Ahora tienes un cuadrado como el del principio —aunque gris y torcido— y puedes hacer con él lo mismo que hiciste antes, para obtener un cuadrado más pequeño aún, cuyos lado y diagonal contienen aún una cantidad entera de veces al segmento $u$. ¿Ves a dónde vamos? Si sigues, puedes conseguir un cuadrado tan pequeño como quieras. En algún momento llegarás a un cuadrado más pequeño que $u$ que, sin embargo, tendría que contener una o más veces a $u$.

Todo esto no tendría más remedio que ser así si el lado y la diagonal originales fueran conmensurables como supusimos al principio. No pueden serlo. Fin.

Esta explicación con papiroflexia es moderna, pero la demostración es de estilo y origen griego. Todo empieza en Grecia.


Demostración con álgebra

La demostración anterior está al alcance de cualquiera —eso espero—. Esta segunda y la siguiente requieren algunos conocimientos más, quizá de nivel universitario. Si las entiendes, te gustarán. Si no, te sugiero que te ausentes ahora; nos vemos el próximo lunes.

Empecemos. En un cuadrado, la diagonal mide $\sqrt{2}$ veces el lado. Así que la conmensurabilidad de la diagonal y el lado es equivalente a la racionalidad de $\sqrt{2}$. Visto así, lo que hay que demostrar es que $\sqrt{2}$ no es igual a $p/q$ para ningún par de números enteros $p$ y $q$.

Es conocido —y fácil de comprobar— que $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es un anillo. Es decir, que la suma y el producto de cosas de la forma $a+b\sqrt{2}\;$ (con $a$ y $b$ enteros) dan resultados de la misma forma. Es fácil convencerse de que $0<\sqrt{2}-1<1$ y, por tanto,
$$(\sqrt{2}-1)^n \rightarrow 0\;\text{ cuando }\;n \rightarrow \infty.$$ Podemos concluir que existen números de la forma $a+b\sqrt{2}$ (en particular, potencias de $\sqrt{2}-1$) tan cercanos a cero como queramos.

Ahora fíjate en los números de la forma $a+b\cdot p/q=(aq+bp)/q$. Como todas las variables involucradas son enteras, lo más cercano que un número positivo de esta forma puede estar de cero es siendo igual a $1/q$. No más. Así que $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ tiene propiedades distintas a $\mathbb{Z}[p/q]$ para $p$ y $q$ enteros cualesquiera. Y ya está.

Las demostraciones que buscan directamente la inconmensurabilidad del lado y la diagonal son geométricas, como la primera de arriba. Las que buscan la irracionalidad de $\sqrt{2}\;$ entran en la teoría de números. Lo llamativo de esta es que es algebraica. Y lo mejor: es la misma demostración geométrica de arriba en un lenguaje distinto. ¿Cómo es esto?

La diagonal, ya sabes, mide $\sqrt{2}$ si el lado mide $1$. Así que el lado del primer cuadrado gris que construimos mide $d-l=\sqrt{2}-1$. Y no es difícil demostrar que en la iteración $n$-ésima obtenemos un cuadrado de lado $(\sqrt{2}-1)^n$. En las dos demostraciones conseguimos —por medios distintos pero equivalentes— que eso se haga tan pequeño como queramos y, en particular, más pequeño que cualquier $u$ o cualquier $1/q$ que hayamos presupuesto.


Notación polaca inversa

Esta última demostración está tomada de Rationnel mon $\mathbb{Q}$. Este libro es un juego literario basado en distintas demostraciones de la irracionalidad de $\sqrt{2}$. Siendo así que temo hacer verdadero el dicho de que las traducciones son traiciones, voy a escribir primero el original en francés, para los políglotas y para mi descargo:

Notation polonaise inverse

2 racine carrée rationnel n’est pas. Proposition.

$p$ un entier naturel, $p$ un entier naturel, $q$ un entier naturel non nul est, $q$ un entier naturel non nul est. Circulons. Le plus grand commun diviseur un égale. Circulons, y’a rien à voir. Divisons inversons deux racine carrée égale. Deux deux $p$ divise $q$ divise dupliquons deux divise absurde. Démostration.

Y ahora mi traducción:

Notación polaca inversa

2 raíz cuadrada racional no es. Proposición.

$p$ un número natural, $p$ un número natural, $q$ un número natural no nulo es, $q$ un número natural no nulo es. Circulen. El máximo común divisor uno iguala. Circulen, no hay nada que ver. Dividamos invirtamos dos raíz cuadrada iguala. Dos dos $p$ divide $q$ divide dupliquemos dos divide absurdo. Demostración.

Es, más o menos, la demostración que más habitualmente se encuentra por ahí. Confieso que no soy capaz de seguir la receta paso a paso. Me pierdo hacia el final. Pero la idea es resultona.


Créditos:


Esta entrada participa en la edición 5.X: Sofia Kovalévskaya del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews.

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