Colón, el pirata

También la trigonometría llevó a Colón a América. La necesidad de orientarse en altamar o en tierras ignotas impulsa el desarrollo de la astronomía. Y la astronomía da vida y alimento a las matemáticas. Ocurrió en las culturas mediterráneas, en las asiáticas, en el Renacimiento…

En Toledo se editaron las mejores tablas de efemérides astronómicas durante toda la Edad Media. Primero, en el Toledo árabe del siglo XI, las llamadas tablas toledanas; luego, las tablas alfonsíes, promovidas por Alfonso X. […] Sigue leyendo >

Los matemáticos españoles no tienen abuelos

¿De quién eres hijo tú? Nosotros somos hijos de los hijos de los hijos de Miguel Ángel y Leonardo. ¿De quién eres hijo tú?

Esto gritaba en Good Morning Babilonia un artesano italiano cuyo trabajo estaba siendo despreciado en Hollywood.

Póster de 'Good morning Babilonia'.

Hace poco estuve en Leipzig, la ciudad donde nació y estudió Gottfried Leibniz. Allí me contó Johannes Waldmann que los matemáticos alemanes descienden todos de Gauss: si indagan quién fue el profesor del profesor de su profesor, acaban siempre en el gran Gauss. […] Sigue leyendo >

Cita (I): matemáticas y locura

Esto escribe Jordan Ellenberg en su libro How Not to Be Wrong:

Mathematics tends to strengthen the mind rather than strain it to its breaking point. If anything, I’ve found that in moments of emotional extremity there is nothing like a math problem to quiet the complaints the rest of the psyche serves up. Math, like meditation, puts you in direct contact with the universe, which is bigger than you, was here before you, and will be here after you.

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Colegios electorales

Un problema:

El cuidado de un enfermo mental cuesta 8 Reichsmarks por día. ¿Cuántos Reichsmarks habrá costado ese enfermo mental al cabo de 40 años?

La autora de esta entrada del excelente blog Images des mathématiques ha rescatado algunos problemas de antiguos manuales escolares. El de arriba es uno y este es otro:

Dos razas $R_1$ y $R_2$ se mezclan con un ratio $p:q$, donde $p+q=1$. […] Solo después de dos generaciones de mestizaje libre resulta claro que está siendo nefasto.

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Acertijo (VI): dividir sin calculadora y sin cifras

Asegura el autor del blog Más ideas, menos cuentas que en los colegios de Singapur solo se enseña a dividir (con lápiz y papel) por una cifra. No por más, en ningún nivel. Tienen calculadoras. Singapur siempre aparece en los primeros puestos de las clasificaciones internacionales de evaluación de estudiantes. En el informe PISA de 2012 fue el primer país en todo, también en matemáticas. Saca tú las conclusiones.

Este acertijo de hoy es para quienes no tienen la suerte de ser instruidos en Singapur. […] Sigue leyendo >

¿Hay un mensaje oculto en el número pi?

¿Hay un mensaje oculto en las infinitas cifras decimales del número $\pi$? ¡Menuda pregunta! ¿Hay mensajes ocultos en las medidas de la Gran Pirámide? ¿Y en la disposición casual de los posos del café? Sin embargo, quien lo propone es Carl Sagan, atacante tenaz de lo paranormal y del ocultismo. Quizá deba hacer la pregunta de otra manera.

Fantaseemos. Imagina que sabes crear universos en tu laboratorio de física. Imagina que sospechas que, en alguno de los universos que sabes crear, la inteligencia podría aparecer de forma espontánea. […] Sigue leyendo >

Acéptate como eres. O no.

Te advertí no hace mucho de que Las paradojas acechan. Se cuelan por cualquier rendija cuando no miras. En lógica y en matemáticas son provechosas, porque permiten rechazar una teoría problemática y vislumbrar otra mejor. Pero a veces las paradojas quieren colarse en tu vida. Y es que abundan por el mundo físico y por el virtual consejeros empeñados en convencerte de que cambies y no cambies… a la vez.

Cierto libro titulado Acéptate a ti mismo trata de atraer lectores con esta frase: «Las causas que provocan la falta de aceptación de uno mismo, y cómo se puede superar realizando cambios positivos en nuestra vida.» La frase es fea de narices, pero creo que he conseguido entenderla. […] Sigue leyendo >

La lengua de las matemáticas

La lengua de las matemáticas y otros relatos exactos
F. Álvarez, Ó. Martín y C. Pareja
Editorial Catarata
Colección Redescubre
128 páginas
Portada de La lengua de las matemáticas y otros relatos exactos

En la entrada anterior te anuncié la existencia del libro La lengua de las matemáticas y otros relatos exactos. Allí puedes encontrar el índice y el material introductorio.

Hoy continúo —y acabo ya— con la autopromoción. Te ofrezco el primer capítulo, llamado La lengua de las matemáticas. Pincha aquí para descargarlo en PDF. […] Sigue leyendo >

Relatos exactos

En 2014 se editaron en España 56.030 libros (eso dice aquí el Instituto Nacional de Estadística). Dan para más de un fin de semana, pero es la cantidad más baja de este siglo XXI (hasta ahora). Dos buenos amigos míos han encontrado ese número insuficiente y han parido un libro, en el que me han dejado poner también mi nombre.

La lengua de las matemáticas y otros relatos exactos
F. Álvarez, Ó. Martín y C. Pareja
Editorial Catarata
Colección Redescubre
128 páginas
Portada de La lengua de las matemáticas y otros relatos exactos

El tema y el estilo del libro son parecidos a los de este blog. […] Sigue leyendo >

Acertijo (V): montaña, planeta, llave, tortilla

¿Qué palabra no está relacionada con las demás?

montaña
planeta
llave
tortilla

No hay que contar letras, ni mirar si son consonantes o vocales… No es de ese estilo. Tampoco tiene relación con las matemáticas.

Bueno, venga, una ayuda. Pincha aquí para ver dos palabras más, relacionadas también con todas menos la intrusa.

Lógica romántica y esdrújula

Abelardo: Moriría por ti, si tú me lo pidieras.
Belisaria: Yo nunca te pediré algo así.
Abelardo: Pues por eso.

Una escena romántica echada a perder por la lógica. Si sabemos con seguridad que Belisaria no lo va a pedir, decir «Si Belisaria lo pide, Abelardo morirá» es no decir nada.

  • Si la hierba es azul, Abelardo morirá.
  • Si $2+2=35$, Abelardo morirá.
  • Si $2+2=35$, tú eres el Papa Luna.

Todas estas afirmaciones son inútilmente válidas. […] Sigue leyendo >

Las paradojas acechan

Me parece que el último acertijo, Ahora que sé que tú no sabes, tiene carne para un cocido más. Esta entrada podrá enriquecerte si ya lo resolviste o ayudarte si se te resistió.

Propongo una situación parecida a la de entonces, pero no igual. Abelardo y Belisaria han recibido cada uno un número (entero y del cero en adelante). Nosotros no sabemos cuáles son. Sí sabemos, porque ha sido dicho en voz alta, que son dos números consecutivos. […] Sigue leyendo >

La amenaza de los inconmensurables (y IV): el río y las orillas

Ponte en la piel de un griego. No digo que te sometas a la Troika; me refiero a uno de aquellos contemporáneos de Pitágoras. Conocen los números de contar: $1$, $2$, $3$… Conocen las fracciones para representar partes o proporciones. Pero se encuentran con medidas exóticas, como aquella cuyo cuadrado es $2$, y no saben qué hacer con ellas.

Te recuerdo que esta es la cuarta parte de una serie sobre los inconmensurables, que empezó aquí, aquí y aquí. […] Sigue leyendo >

Acertijo (IV): ahora que sé que tú no sabes…

Acabo de decir a mi amigo Abelardo un número al oído. A Belisaria le digo otro, susurrando: el cero. Informo a los dos en voz alta de que la suma de sus números es o bien $5$ o bien $6$.

Abelardo dice: «No puedo deducir tu número, Belisaria.»
Belisaria dice: «Con esa información yo sí sé el tuyo.»

¿Cuál es el número de Abelardo?

Ilustración del acertijo.

 

(Para que no haya malentendidos: los números de los que hablo son los enteros del cero en adelante: 0, 1, 2, 3…)

Seguro que ya has oído antes acertijos de esta clase, en los que saber si el otro sabe o no sabe te permite saber más. […] Sigue leyendo >

La amenaza de los inconmensurables (III): así somos

Se dice que Arquímedes corrió desnudo por las calles de Siracusa gritando eureka; que Galileo dejó caer dos piedras desde la Torre de Pisa para que llegaran a la vez al suelo; que a Newton le cayó la inspiración sentado bajo un manzano. Se dice todo esto pero, con historias tan antiguas y poco documentadas, es difícil saber.

Se dice también —y podría ser cierto— que algunos miembros de la secta de Pitágoras condujeron mar adentro, a la fuerza, a uno de sus compañeros, al que ya nadie vio volver. […] Sigue leyendo >

Los libros de texto y la vida real

— ¿Cuántos décimos quieres?
— Dame tres.

Conversaciones como esta suelen ocurrir en periodo navideño, sobre todo entre quienes desconocen la ciencia estadística o la desdeñan (que es decir, entre quienes la ignoran o la ignoran).

Cada billete de lotería se divide en diez partes, y eso da nombre —denomina— al objeto de la transacción: décimo. El tres indica la cantidad —numera—. Por eso, en la fracción $3/10$, el $10$ es el denominador y el $3$ es el numerador. […] Sigue leyendo >

La amenaza de los inconmensurables (II): el metro de Tokio

¿Por qué inquietó tanto a la hermandad de Pitágoras el descubrimiento de los inconmensurables? Podemos hacer poco más que suponer. Eran muy celosos con algunos de sus secretos y la información que ha llegado hasta hoy —especialmente sobre el mismo Pitágoras— es poca y, a veces, dudosa. Supondremos, pues.

Te recuerdo que en la primera entrada de esta serie traté de convencerte de que existen magnitudes inconmensurables y de contarte qué significa esa palabreja. Y que la serie continúa aquí y aquí. […] Sigue leyendo >

Acertijo (III): aviones de guerra

Estamos en guerra. Nuestros aviones salen en misiones de combate y con frecuencia reciben un buen número de disparos enemigos. A veces consiguen volver a la base; otras veces son derribados. Buscamos una forma de mejorar la situación. Podemos reforzar las superficies exteriores para que resistan mejor los disparos, pero el avión sería más pesado, menos maniobrable y gastaría más combustible. Lo mejor es reforzar solo alguna parte del avión. Pero, ¿qué parte?

Hemos estado durante algún tiempo analizando los aviones cuando vuelven a la base y contanto los impactos de bala que han recibido en distintas zonas. […] Sigue leyendo >

La amenaza de los inconmensurables (I): demostraciones

No me puedes negar que tienen nombre de superhéroes:

«Primero fueron Los Vengadores. Después llegaron Los Increíbles. Ahora, por fin, están aquí Los Inconmensurables.»

Hoy solemos usar inconmensurable queriendo decir enorme, pero en geometría siempre ha tenido un sentido muy distinto.

Los Vengadores, los Increíbles y los inconmensurables.

 


Qué son

A Pitágoras y sus seguidores les gustaba pensar que todo es número. Y por número se referían a $1, 2, 3, 4\dots$, sin decimales. Números naturales o enteros positivos, diríamos hoy (recuerda la entrada Definiciones (malas) de número entero). […] Sigue leyendo >

¿Estamos enseñando bien matemáticas?

¿Hay que dominar los cálculos o hay que entender las ideas? ¿Debemos aceptar sin remedio que una parte de la población crea que odia las matemáticas? (Aunque no una parte tan grande: recuerda la entrada Matemáticas, por caridad.)

Hoy cedo la palabra a quienes saben más que yo y lo explican mejor. Este primer extracto está traducido del libro How not to be wrong, de Jordan Ellenberg:

Las matemáticas no son simplemente una serie de cómputos rutinarios que tienes que hacer hasta que tu paciencia o tu resistencia se agotan (aunque pueda parecerlo por lo que te hayan enseñado en algunos cursos llamados matemáticas).

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Te equivocas (un diálogo nada platónico sobre el platonismo)

Abelardo: Te equivocas, Belisaria. Mira por ejemplo la Luna: su forma en el cielo es un círculo perfecto.

Belisaria: Te equivocas tú, Abelardo: está ensanchada por su ecuador, como le pasa a la Tierra.

A: ¿Como que ensanchada?

B: Sí. Es como una milésima más ancha que alta.

A: ¡Una milésima! Ahí lo tienes: eso es imposible de ver.

B: No importa si tus ojos lo ven o no: no es un círculo perfecto. Además, tiene cráteres y otros accidentes. […] Sigue leyendo >

Acertijo (II): cinco figuras

Mira esta secuencia de cinco figuras y dime cuál es la siguiente:

Cinco figuras

Con ayuda de sus amigos ingenieros, Diaconis construyó una máquina mecánica lanzadora de monedas, que podía reproducir una y otra vez las mismas condiciones a la hora de lanzar la moneda.

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Diez frases para jugar con la autorreferencia

Vamos a jugar con frases que hablan de ellas mismas. Como estas:

  • Esta frase habla de sí misma.
  • Esta frase no habla de sí misma.
  • Esta frase es verde.

Da igual que una lo niegue y otra salga por peteneras. Cada una de esas frases dice algo acerca de ella misma. Las tres son autorreferentes. Esa es la palabreja.

No siempre esta claro si una frase habla o no de sí misma. Mira esta:

  • Algunas frases se hentienden aunque tengan faltas de ortografia.
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Poetas y astrónomos, Whitman y Ptolomeo

Cosas de la ESO: me pide mi hija ayuda para identificar figuras literarias.

— ¿Temprano madrugó la madrugada es aliteración o paranomasia o qué?

¡Por dios! Está Miguel Hernández gritando su dolor y nosotros analizamos con qué nota musical grita. ¿Es esto necesario?

Pues, sí, más pronto o más tarde, creo que lo es.

Esta entrada es más de opinión que de exposición. Tiene poesía, astronomía y una aparición final de las matemáticas, breve pero estelar. […] Sigue leyendo >

Un acertijo, los acertijos

Mira esta secuencia y dime cómo sigue:

UNO
DOS
TRES
CATORCE

Si crees que lo sabes, compruébalo aquí:

¿Necesitas una pista? Seguro que no, pero puedes pinchar aquí. […] Sigue leyendo >

Necesitamos fórmulas… bonitas

Los libros de matemáticas tienen fórmulas. Si a un libro sobre fotografía no le perdonarías que tuviera imágenes torpes o poco claras, a uno sobre matemáticas debes exigirle que sus fórmulas sean claras, legibles, agradables a la vista. Y eso, con frecuencia, no ocurre. Esta entrada viene a ser una queja contra las fórmulas feas y, de paso, contra las portadas feas.

(Si tienes dudas sobre la necesidad de las fórmulas en los libros de matemáticas, quizá quieras echar un vistazo a la entrada Necesitamos fórmulas.)

Los misterios de los números
(La odisea de las matemáticas en la vida cotidiana)
Título original: The Number Mysteries
Marcus du Sautoy
Editorial Acantilado
Sobrecubierta de Los misterios de los números

Hace algún tiempo me regalaron este libro, que ahora pretendo leer. […] Sigue leyendo >

Mate no constructivista en dos jugadas

El enunciado es «blancas juegan y dan mate no constructivista en dos»:

Mate no constructivista

Ahí queda como reto, de momento.

El problema, un prodigio de composición, está tomado de The Chess Mysteries of Sherlock Holmes, de Raymond Smullyan. Un libro impresionante. Tiene segunda parte, y ambas están traducidas al español (están aquí y aquí, por si te interesa).


Matemáticas en crisis

Empezaré informalmente: Tienes interés en averiguar si existe alguien en España que pague todos sus impuestos. […] Sigue leyendo >

Aprende a asombrarte, no aprendas fórmulas

Memorizar las fórmulas para la longitud de una circunferencia y para el área de un círculo es inútil y aburrido. Pero entenderlas y apreciarlas es necesario y debe ser fascinante. Por si tienes la suerte de no recordarlas, las fórmulas en cuestión son estas: $$\ell=2\pi r \qquad\qquad A=\pi r^2$$ Las discutiré por separado.


La longitud de la circunferencia y sus formulitas

El número $\pi$ es la cantidad de diámetros que caben en una circunferencia. Lo contaba yo en la entrada Seis ventajas de medir $\pi$ a la egipcia. […] Sigue leyendo >

Seis ventajas de medir pi a la egipcia

¿Cómo pudieron los antiguos egipcios medir el valor del número $\pi$? Como sabemos, tenían comunicación directa y fluida con varias civilizaciones extraterrestres. Pero, ¿y si hubieran querido medirlo por sí mismos? Petr Beckmann, en las primeras páginas de su libro A History of $\pi$, los imagina dibujando en la orilla arenosa del Nilo. La idea es sencilla:

  1. Clava un palo en la arena, en lo que será el centro de una circunferencia. Ata una cuerda a él, con otro palo en el otro extremo.
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¡Sed creativos!

En agosto de 2014 se celebró en Seúl el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM son sus siglas en inglés). Este es el principal evento en el mundo de las matemáticas. Tiene lugar cada cuatro años y en él, entre otras cosas, se conceden las medallas Fields, los premios más prestigiosos del ramo.

Plus es un sitio web (en inglés) imprescindible, dedicado a todo lo que tenga que ver con las matemáticas. Han publicado varios artículos acerca de este ICM. […] Sigue leyendo >

Definiciones (malas) de número entero

Acabo de escribir a la Real Academia Española acerca de la entrada número entero de su diccionario (que está aquí). Les he dicho:

Tanto en la edición actual como en el avance de la próxima, aparece definido como «número que consta exclusivamente de una o más unidades, a diferencia de los quebrados y de los mixtos».

Esa definición parece hacer referencia solo a los enteros positivos: 1, 2, 3, etc. Sin embargo, en matemáticas se incluye siempre en los números enteros a los negativos (-1, -2, -3…) y al cero.

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Logaritmos y hechicería

Los logaritmos se usaron para simplificar los cálculos numéricos desde el siglo XVII —cuando los propuso John Napier y los impulsó Johannes Kepler— hasta más allá de la mitad del XX —cuando aparecieron las calculadoras de bolsillo—.

Conservo un librito que utilizó mi hermano en sus años de instituto. Está editado en 1968 por Bruño y su título es Tablas de Logaritmos y Trigonométricas. Son unas pocas páginas de instrucciones seguidas de más de 200 llenas de tablas de números. […] Sigue leyendo >

El juego de la escoba y los divisores de 12

¿Recuerdas el juego de la escoba? Se juega con una baraja española, de 40 cartas. Hay unas reglas (y puedes echar una partida), por ejemplo, aquí: www.ludoteka.com/escoba.html. Basta saber lo siguiente: Para empezar el juego, se colocan cuatro cartas sobre la mesa; luego se reparten tres cartas a cada jugador. Por turnos, cada jugador juega una de sus cartas y se deshace de ella. Cuando todos los jugadores quedan sin cartas se reparten otras tres a cada uno. […] Sigue leyendo >

El teorema de Tales y el iPad

El tiempo en que vivió Tales de Mileto era más de tablillas de barro que de tabletas táctiles. Sin embargo, una parte de la geometría clásica, particularmente el teorema de Tales, bien podría haber sido sugerida por el uso de la pantalla de una moderna tableta. Me explicaré.

Tengo una imagen en la pantalla de mi tableta. Una cualquiera: un terrible ogro, por ejemplo. Arrastrando un dedo, la muevo a un lado y otro, sin que deje de ser la misma. […] Sigue leyendo >

Tres lógicos entran a un bar

Va un chiste. Aparece en varios sitios de internet, pero la referencia original parece ser de Adrián Paenza —el mismísimo premio Lilavati 2014— en la web de Página/12 (aquí). Lo reproduzco según su redacción:

Tres lógicos entran a un bar. El barman se acerca y les pregunta: «¿Todos quieren cerveza?». El primer lógico mira al barman y le dice: «No sé». El segundo lógico también lo mira y le dice: «No sé». Finalmente, el tercer lógico mira al barman también y le dice: «Sí».

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Las fechas que etiquetan los días

Santa Teresa de Jesús murió en Alba de Tormes en la noche del 4 al 15 de octubre de 1582. Sí, del 4 al 15; no es una errata, ni un milagro de la santa. Porque justo esa noche en España se dejó de usar oficialmente el calendario juliano y se empezó a usar el gregoriano, y el cambio requería un ajuste de 10 días. Las fechas del 5 al 14 de octubre de 1582 no existieron en España. […] Sigue leyendo >

El pescado y las series infinitas

Hay pescado al horno para cenar. Somos tres comensales y es difícil hacer de un pescado tres partes iguales. Empezamos separando sus cuatro lomos, prácticamente iguales: un lomo para cada comensal y queda uno por repartir. Sigue siendo difícil dividir el cuarto lomo en tres trozos iguales, pero dividir por la mitad, dos veces seguidas, es más fácil. Así que partimos el lomo sobrante en cuatro trozos iguales: uno para cada comensal y sobra uno. Dividimos igualmente el trozo sobrante en cuatro minitrozos: uno para cada comensal y sobra un minitrozo. […] Sigue leyendo >

Necesitamos fórmulas

No comparto esa máxima según la cual los libros de divulgación y las fórmulas son incompatibles. Vamos a ver1:

Si quieres multiplicar 7 más la raíz de la raíz de 10 por 8 más la raíz de la raíz de 12, entonces el 7 se multiplica por el 8, y la raíz de la raíz de 10 se multiplica por la raíz de la raíz de 12, y el 7 por la raíz de la raíz de 12, y el 8 por la raíz de la raíz de 10 produciendo el entero 56 más ocho raíces de la raíz de 10 más siete raíces de la raíz de 12 más una raíz de la raíz de 120.

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Matemáticas, por caridad

Las matemáticas son la asignatura menos querida en colegios e institutos. Todo el mundo lo sabe. Es casi una ley natural.

Pero es mentira. Del todo.

Se encuentran por Internet resultados de diversas encuestas —estadounidenses todas— sobre asignaturas preferidas. Por ejemplo, esta de Gallup, esta del British Council y esta de MRI. En muchas de ellas las matemáticas aparecen en primer lugar, como la asignatura más apreciada, con alrededor de un cuarto de los votos. […] Sigue leyendo >